Движение по спице
Материальные точки и связаны нерастяжимыми нитями и . Точка может скользить по неподвижной длинной вертикальной спице, на которой также закреплён конец нити . В момент, показанный на рисунке, нить образует угол с вертикалью и перпендикулярна нити , скорость точки направлена вниз и равна , тангенциальное ускорение точки равно , и точка движется в плоскости рисунка. Нити натянуты. Оказалось, что ускорение точки в рассматриваемый момент равняется нулю.
- Определите модуль скорости точки в рассматриваемый момент.
- Определите длину нити .
- Определите модуль ускорения точки в рассматриваемый момент.
Решение.
Так как точка закреплена, а нить натянута, то точка движется по окружности с центром в точке и радиусом . Следовательно, её скорость в рассматриваемый момент перпендикулярна радиусу окружности, то есть нити , и поэтому направлена вдоль нити , перпендикулярной нити . Найти скорость точки можно двумя способами.
Первый способ: поскольку нить нерастяжима и натянута, то проекции скоростей точек и на неё равны. Проекция скорости точки на нить равна , так что
Второй способ: перейдём в систему отсчёта точки , то есть в поступательно движущуюся систему отсчёта, в которой точка покоится. Скорости и точки в исходной и новой системах отсчёта соответственно связаны соотношением , где — скорость точки в исходной системе отсчёта. В новой системе отсчёта точка покоится, нить натянута, так что точка движется по окружности с центром в точке и радиусом . При этом скорость точки в новой системе отсчёта направлена перпендикулярно радиусу окружности — нити . Значит, скорости , и образуют прямоугольный треугольник с углом между и , в котором является гипотенузой. В таком случае .
Теперь определим длину нити . Для этого перейдём в систему отсчёта точки , в точности как в Варианте 2 в предыдущем пункте. Поскольку новая система отсчёта поступательно движется относительно исходной, то ускорения и точки в исходной и новой системах отсчёта соответственно связаны соотношением , где — ускорение точки в исходной системе отсчёта. Так как точка движется по окружности с центром в точке в новой системе отсчёта, то её ускорение складывается из тангенциального ускорения , направленного вдоль нити , и ортогонального ему нормального ускорения , направленного к точке вдоль нити . По условию в исходный момент , так что . Также дано, что ускорение точки , направленное вдоль нити , равно . Значит, нормальное ускорение точки в новой системе отсчёта равно . С другой стороны, оно равно
где равенство получается из геометрии прямоугольного треугольника, образованного скоростями , и . Таким образом,
Определим полное ускорение точки в исходной системе отсчёта. Поскольку в исходной системе отсчёта точка движется по окружности с центром в точке , то её полное ускорение складывается из двух ортогональных составляющих: тангенциального ускорения и нормального ускорения, направленного вдоль нити к точке и равного
Равенство получается из геометрии прямоугольного треугольника . Полное ускорение точки находим по теореме Пифагора:
Верно определено направление движения точки — скорость направлена вдоль нити .
Использование кинематической связи для нахождения скорости точки : .
Ответ: .
Связь проекций ускорения точки и точки на сонаправленную с нитью ось: .
Найдена скорость точки в новой системе отсчета: .
Найдена длина нити (для получения балла численное значение тригонометрических функций должно быть подставлено).
Найдена длина нити .
Найдена проекция ускорения точки на ось вдоль нити : .
Найдено полное ускорение точки : (для получения балла численное значение тригонометрических функций должно быть подставлено).