Вспоминая 90-е
Вспоминая 1997 год, теоретик Баг продолжил исследования следующей ситуации: доска лежит на такой же доске . Они, как единое целое, движутся с некоторой скоростью по гладкой горизонтальной поверхности и сталкиваются с такой же доской , верхняя поверхность которой покрыта тонким слоем резины.
Трения между досками и нет, а трения между досками и есть. При ударе доски и прочно сцепляются. Длина досок равна . Доска перестала перемещаться относительно досок и в момент, когда она целиком расположилась на доске .
Найдите перемещение доски от момента соударения до момента прекращения относительного движения досок.
Ответ
Решение.
Пусть — скорость досок и до соударения с доской , а — масса каждой из досок. Поскольку трения между досками и нет, а доски и при ударе скрепляются, сразу после удара скорость доски равна , а скорость досок и равна из закона сохранения импульса.
Введём ось по направлению скорости . Поскольку горизонтальная поверхность гладкая, центр масс системы движется с постоянной скоростью, равной
В момент удара центр масс системы опережает центр доски на величину , а к моменту, когда доска целиком оказалась на доске , центр масс системы отстаёт от центра доски на ту же величину . Тогда для перемещения доски получим:
где — время движения доски относительно досок и .
Далее объединим доски и в одно тело массой и будем характеризовать его индексом . Доску будем характеризовать индексом . Пусть — сила трения, действующая на первое тело со стороны второго, а — их относительное перемещение после удара. Отметим, что трение происходит только в области перекрытия досок и . Величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе нормальной реакции шероховатой части поверхности опоры, и поэтому
Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел:
Откуда:
Тогда получим уравнение движения для переменной :
Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой
Его общее решение:
Определим и из начальных условий:
Величина имеет смысл амплитуды колебаний, которая также равна , поскольку относительное движение досок прекращается, когда доска целиком оказывается на доске . Таким образом, имеем связь:
Время движения является четвертью периода гармонических колебаний с циклической частотой , откуда:
Тогда для перемещения центра масс имеем:
И окончательно находим:
Записано, что поверхность, по которой скользят доски, гладкая, поэтому скорость центра масс трёх досок постоянна: .
Найдена скорость центра масс трёх досок: , где — скорость движения досок и до удара.
Найдены начальное и конечное положения центра масс досок: на расстоянии сначала левее, а в конце правее точки сцепления досок.
Найдена начальная скорость доски относительно сцепившихся досок: .
Записано выражение для итогового перемещения доски : , где — время относительного движения досок.
Записан второй закон Ньютона для доски и для сцепившихся досок: , .
Записано выражение для силы трения в зависимости от перекрытия досок: , где .
Получено уравнение гармонических колебаний вида .
Записано выражение для частоты колебаний .
Получено решение уравнения в виде .
Записана связь между амплитудой колебаний и максимальной скоростью: .
Приведено или далее используется выражение для амплитуды колебаний .
Из равенства или рассуждений о частях периода колебаний найдено время движения до остановки: .
Записан верный ответ: .