Вращающаяся гильза
Тонкостенная цилиндрическая гильза массы , вращающаяся с угловой скоростью вокруг своей оси, влетает со скоростью в отверстие в стальной плите (рисунок слева). Оси гильзы и отверстия совпадают, внешний радиус гильзы равен радиусу отверстия, длина гильзы равна толщине плиты.
График зависимости силы, которую необходимо прикладывать к невращающейся гильзе, для проталкивания её через отверстие от величины перемещения представлен на рисунке справа. Максимальное значение силы равно . Эта сила нужна для преодоления силы сухого трения, причем нормальные силы реакции, действующие на участки поверхности гильзы со стороны стен отверстия, не зависят от скорости и угловой скорости гильзы. Поверхности гильзы и отверстия однородны и одинаковы по всей длине. Координата отвечает положению гильзы, которая только начала входить в плиту.
- При каком минимальном значении гильза пролетит через отверстие (начальная угловая скорость всегда одна и та же)?
- Чему будет равна при этом (при ) угловая скорость вращения гильзы в момент, когда гильза окажется целиком внутри плиты?
- Через какое время от момента влёта в отверстие при начальной скорости гильза окажется внутри плиты целиком?
Решение.
Скорость точек на внешней поверхности гильзы направлена к оси гильзы под углом
Сила трения, действующая на элементы поверхности гильзы, направлена противоположно их скорости, а значит, не изменяет угол между векторами скоростей точек гильзы и её осью, а влияет лишь на модули этих скоростей. Следовательно, в процессе торможения гильзы отношение скорости её поступательного движения и линейной скорости вращательного движения точек её поверхности остаётся неизменным:
Так как это обстоятельство очень важно для решения, приведем другой возможный способ его обоснования. Сила трения скольжения, в силу информации о постоянстве сил нормальной реакции стенок отверстия, для каждого малого элемента поверхности гильзы имеет постоянную величину и направлена против его скорости. Действие сил трения можно разделить на торможение поступательного движения (результирующая сила ) и торможение вращения гильзы (тормозящий момент равен моменту силы ). Поэтому ускорения, с которыми уменьшаются скорость её поступательного движения и линейная скорость вращательного движения точек её поверхности , пропорциональны этим скоростям. Следовательно, отношение величин этих скоростей остаётся неизменным:
Поэтому и .
В направлении поступательного движения ускорение гильзы определяется проекцией силы трения
Поэтому движение вращающейся гильзы в направлении оси аналогично движению невращающейся гильзы при действии «уменьшенной» силы . Минимальное значение скорости при учёте этого можно найти из закона сохранения энергии:
Из этого уравнения находим
Для ответа на второй вопрос достаточно заметить, что угловая скорость и скорость поступательного движения гильзы всё время связаны соотношением
В момент полного погружения скорость поступательного движения в раз меньше начальной скорости , так как работа сил трения к этому моменту составляет ровно половину от величины работы до момента вылета. Поэтому
При движении гильзы внутри отверстия до момента полного проникновения её внутрь плиты сила линейно увеличивается. Ускорение гильзы
Эта формула совпадает с уравнением гармонических колебаний с циклической частотой
Координата переднего среза гильзы зависит от времени как
где определяется при этом из условия
Тогда до момента полного погружения гильзы в отверстие
и время погружения находится из уравнения
Указано, что угол между скоростью и осью стержня остается постоянным, или показано, что .
Найдена проекция силы трения на ось: .
Записан верный закон изменения энергии при прохождении отверстия.
Получен верный ответ для .
Получена связь или эквивалентная.
Из закона сохранения энергии найдено .
Получено .
Указано, что уравнение движения аналогично уравнению гармонических колебаний.
Найдена эффективная частота .
Записано или эквивалентное выражение.
Найден коэффициент амплитуды .
Получено верное выражение для времени .