Бусинка на стержне
Твёрдый невесомый стержень длиной опирается концом на гладкую вертикальную стенку, а концом — на горизонтальную шероховатую поверхность. Коэффициент трения между стержнем и горизонтальной поверхностью — . По стержню может без трения скользить маленькая бусинка массой . Тела удерживают так, что стержень расположен под углом к горизонту, а бусинка находится посередине стержня. Тела отпускают, и через некоторое время стержень приходит в движение, при этом бусинка к этому моменту времени не успевает удариться о горизонтальную поверхность.
- Найдите скорость бусинки в момент времени, когда стержень начнёт двигаться, и те значения коэффициента трения , при которых возможна описанная в условии ситуация.
- Найдите силу взаимодействия стержня с вертикальной стенкой в этот момент времени.
Решение.
Первый способ.
Поскольку стержень находится в равновесии — равнодействующая сил, действующих на него, должна равняться нулю, а также относительно любой точки должен равняться нулю момент действующих на стержень сил. Поскольку массой стержня можно пренебречь, можно считать, что силы прикладываются к стержню в точках , и в месте положения бусинки.
Сила реакции со стороны вертикальной стены направлена горизонтально, а сила взаимодействия бусинки со стержнем направлена перпендикулярно последнему, поскольку трения между ними нет. Тогда линия действия равнодействующей сил нормальной реакции и трения в точке — полной реакции опоры — должна проходить через точку пересечения линий действия и по теореме о трёх непараллельных силах. Изобразим это на рисунке.
Поскольку линия действия фиксирована, а сохраняет своё направление — точка пересечения линий действия сил горизонтально перемещается. Угол наклона стержня к вертикали составляет , значит смещению бусинки вдоль стержня на величину соответствует смещение пересечения линий действия сил на величину .
Возможны два варианта начала движения стержня: скольжение по полу и стенке или вращение относительно нижнего конца. Предположим, что стержень начнёт проскальзывать. Это произойдёт в тот момент, когда более не сможет удовлетворить условию пересечения линий действия сил, то есть угол превысит величину . Отсюда найдём перемещение бусинки :
Стержень придёт в движение до момента удара бусинки о пол, если , отсюда получаем условие на коэффициент трения, при котором возможна описанная ситуация:
Определим скорость бусинки из закона сохранения механической энергии:
Второй способ.
Расставим силы, действующие на стержень, и запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
и правило моментов относительно точки :
Из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню, получим, что . Решив систему уравнений, найдём:
Проскальзывание начнётся при , то есть если
Отсюда, при условии, что , получим . До начала проскальзывания бусинка движется равноускоренно с ускорением . Начальная скорость бусинки равна нулю, поэтому
Силу взаимодействия стержня с вертикальной стенкой также можно определить двумя способами.
Первый способ.
Изобразим на рисунке условие равенства нулю равнодействующей сил, действующих на стержень. Обратим внимание, что из второго закона Ньютона для бусинки в проекции на ось, перпендикулярную стержню,
Тогда имеем
В момент отрыва , поэтому
Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при , тогда . Это означает, что наше предположение о том, что проскальзывание начнётся раньше переворота, справедливо, а полученные ответы верны.
Второй способ.
Так как в момент начала проскальзывания ,
Как мы выяснили выше, описанная в условии ситуация возможна только при , тогда . Это означает, что наше предположение о том, что проскальзывание начнётся раньше переворота, справедливо, а полученные ответы верны.
На стержень действуют силы реакции опоры со стороны стенки и пола, сила трения со стороны пола и сила со стороны бусинки (изображено на рисунке или явно следует из уравнений).
Сила реакции опоры со стороны стенки направлена горизонтально, а со стороны пола — вертикально (изображено на рисунке или явно следует из уравнений).
Сила трения, действующая на стержень, направлена вправо. Примечание: на рисунке изначально сила может быть направлена влево. Если из дальнейшего решения явным образом следует обратное направление (например, сила получилась отрицательной), то балл ставится.
Сила, действующая на стержень со стороны бусинки, направлена перпендикулярно стержню.
Верно записаны условия равновесия стержня и количество уравнений достаточно для получения ответа на вопрос задачи: либо равенство нулю моментов сил относительно оси, указанной в авторском решении, либо равенство нулю суммы моментов сил относительно другой оси плюс равенство нулю суммы сил. Примечание: баллы ставятся только за уравнения с подставленными значениями проекций и длин плеч.
Верно записано условие начала проскальзывания: сила трения превышает предельное значение или угол наклона силы реакции со стороны пола превышает предельный.
Записан закон сохранения энергии для бусинки, или зависимость скорости бусинки от ее положения выражена из кинематики и второго закона Ньютона, записанных для бусинки.
Верное значение скорости бусинки в момент начала движения стержня: .
Верное ограничение на коэффициент трения .
Верное значение силы реакции опоры со стороны стенки в этот момент времени: .
Присутствует явным образом записанное обоснование, что стержень начнет скользить, а не переворачиваться.