Пружины
Система состоит из трёх лёгких пружин и двух лёгких стержней. Коэффициенты жёсткости пружин указаны на рисунке. Верхний стержень на трети своей длины прикреплён к шарнирной опоре.
- Как изменится (в какую сторону и на сколько) длина верхней пружины, если к середине нижнего стержня приложить внешнюю силу , направленную вертикально вниз?
- Чему равен коэффициент — жёсткости системы, если на неё действовать внешней вертикальной силой, приложенной к середине нижнего стержня?
Углы поворота стержней малы. Пружины остаются вертикальными.
Решение.
- Так как нижний стержень лёгкий, а внешняя сила прикладывается к его середине, то силы упругости, действующие на стержень со стороны пружин, должны быть равны. Обозначим их за . Из условия равновесия нижнего стержня
- Записывая правило моментов для верхнего стержня относительно шарнира, в предположении, что верхняя пружина растянута силой , получим:
где — длина одной трети стержня. Откуда . Это означает, что наше предположение неверно, и верхняя пружина сжимается силой .
- Воспользовавшись законом Гука, найдём деформацию верхней пружины:
- Абсолютные удлинения нижних пружин одинаковы и равны
- Найдём кинематическую связь между деформациями пружин и смещением точки приложения силы .
Так как верхний стержень жёсткий, то его правый конец сместится вниз на . Но деформации нижних пружин тоже , следовательно, нижний конец правой пружины опустится на . Нижний стержень останется параллельным верхнему, и нижний конец левой пружины сместится вниз на . Из жёсткости нижнего стержня следует, что его середина опустится на
- Запишем закон Гука для всей системы:
откуда
Учтено и обосновано равенство сил упругости нижних пружин.
Использована связь сил упругости нижних пружин и силы .
Записано правило моментов для верхнего стержня.
Найдена величина и направление деформации верхней пружины.
Учтена жёсткость верхнего стержня и найдена связь смещений его концов.
Найдены смещения концов нижнего стержня.
Найдено смещение точки приложения силы .
Учтён закон Гука для всей системы.
Найдена эквивалентная жёсткость системы.