С ускорением
Идеально гибкая однородная нерастяжимая цепочка постоянной толщины, массой и длиной подвешена с помощью короткой нити к закреплённой точке (рис. а). В некоторый момент времени нить пережигают, и цепочку начинают тянуть за её нижний конец с постоянной силой в направлении точки (рис. б).
1. С каким по модулю ускорением начнёт двигаться верхний конец цепочки сразу после пережигания нити?
2. Через какое время после пережигания нити вся цепочка снова выпрямится?
3. Определите модуль скорости цепочки сразу после её распрямления.
4. Какое количество теплоты выделится за время ?
5. Определите силу натяжения цепочки в точке , расположенной в её середине, после её распрямления.
Ускорение свободного падения равно . Сопротивлением воздуха необходимо пренебречь. Размеры звеньев в цепочке много меньше её длины. Считайте, что столкновения звеньев в цепи неупругие.
Решение.
После пережигания нити длина вертикального участка цепочки, на край которой действует сила , будет увеличиваться. Другой участок цепочки сокращающейся длины будет двигаться только под действием силы тяжести, значит модуль ускорения верхнего края цепочки сразу после пережигания и до момента полного разворота цепочки равен
Способ 1.
Согласно теореме о движении центра масс ускорение центра масс цепочки в проекции на ось равно
За время центр масс цепочки сместится вдоль оси на
Верхний край цепочки за время переместится на расстояние
Значит,
С учётом полученных соотношений
Способ 2.
Ответ на вопрос можно получить и другим способом. Пересядем из лабораторной системы отсчёта (далее — ЛСО) в неинерциальную систему отсчёта (далее — НеИСО), падающую вниз без начальной скорости с ускорением свободного падения . В этой системе отсчёта изначально неподвижная цепочка приходит в движение под действием лишь одной силы . И сумма действующих на любой элементарный (малый) участок силы тяжести и силы инерции равна нулю. В этом случае центр масс цепочки движется согласно теореме о движении центра масс с ускорением
и проходит за искомое время расстояние . А значит
что даёт тот же ответ.
Способ 1.
Через время все части цепочки движутся с одинаковой скоростью, равной скорости её центра масс. А значит
то есть
Способ 2.
Ответ на этот пункт можно получить, также используя пересадку в НеИСО. Скорость в данной системе отсчёта сразу после разворота цепочки равна
и направлена вверх. В данный момент выбранная система отсчёта будет двигаться вниз со скоростью
При пересадке обратно в ЛСО с учётом закона сложения скоростей получаем
А значит .
Способ 1.
Работа силы равна сумме изменения механической энергии цепочки и выделившегося количества теплоты :
где
Откуда находим
Способ 2.
В НеИСО к моменту полного разворота цепочки точка приложения силы переместится на , а значит её работа равна . Изменение кинетической энергии цепочки равно
С учётом этого находим выделившееся количество теплоты
как разность работы силы и изменения кинетической энергии.
Способ 1.
После распрямления цепочки выделим нижнюю половину нити (ниже точки ) массой и запишем для этого участка теорему о движении центра масс в проекции на ось :
В итоге получаем
Рассматривая движение в НеИСО, на нижнюю половину цепочки после её разворота будет действовать сила
Определён модуль ускорения .
Метод 1. Записано выражение для ускорения центра масс в проекции на ось : .
Метод 1. Используется соотношение .
Метод 2. В НеИСО записано выражение для ускорения центра масс .
Метод 2. В НеИСО учтено, что .
Получен ответ .
Метод 1. Записано выражение для скорости цепочки сразу после её разворота.
Метод 2. В НеИСО записано выражение для скорости цепочки сразу после её разворота.
Метод 2. Записано выражение для скорости НеИСО в момент времени : .
Метод 2. С учётом закона сложения скоростей получено .
Получен ответ .
Метод 1. Записано выражение для работы силы : .
Метод 1. Записано выражение для изменения потенциальной энергии .
Метод 1. Записан закон сохранения энергии .
Метод 2. В НеИСО определена работа силы : .
Метод 2. В НеИСО записано выражение для изменения кинетической энергии цепочки: .
Метод 2. В НеИСО использован закон сохранения энергии.
Получен ответ .
Метод 1. Записано соотношение .
Метод 2. В НеИСО записано соотношение .
Получен ответ .