Равновесие в полях
Нерастяжимая невесомая нить длиной заряжена равномерно по длине положительным зарядом с линейной плотностью . Один конец нити закреплён, а к другому прикреплён маленький груз массой . Систему поместили в однородное электростатическое поле. В положении равновесия система расположилась таким образом, что касательные к нити в точке крепления и в месте расположения груза оказались горизонтальной и вертикальной соответственно. Груз расположился на расстоянии ниже и на расстоянии правее точки крепления.
Собственным электростатическим полем зарядов нити можно пренебречь. Ускорение свободного падения равняется . Определите величину напряжённости электростатического поля.
Решение.
Пусть — сила, действующая на нить в точке её крепления, равная по модулю силе натяжения нити в данной точке. Тогда, поскольку система расположена в равновесии:
Введём систему координат , где ось направлена вправо, а ось — вертикально вверх. Тогда из условия равновесия:
Свяжем силы натяжения нити в точке крепления груза и в точке крепления нити. Приведём два способа получения данной связи.
Первый способ.
Воспользуемся методом виртуальных перемещений. Мысленно поместим нить в гладкую трубку, повторяющую форму нити. Это не изменит силу натяжения, потому что нить с трубкой не взаимодействует. Сдвинем нить вдоль трубки на величину в направлении от точки крепления груза к точке крепления нити.
Тогда изменение формы нити эквивалентно перемещению участка нити длиной из точки крепления груза в точку крепления нити, поскольку форма остальной части нити не изменится. Поскольку сила натяжения невесомой нити направлена вдоль нити, работа сил, приложенных к концам нити, на указанном виртуальном перемещении равна:
Совершаемая силами натяжения работа равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле:
Поскольку перемещение нити эквивалентно перемещению её участка длиной из точки крепления груза в точку крепления нити, изменение потенциальной энергии нити в электростатическом поле равно изменению потенциальной энергии соответствующего участка нити:
где и — потенциалы электростатического поля в точках крепления нити и груза соответственно. Для изменения потенциала имеем:
Поскольку , а , для изменения потенциала находим:
Таким образом:
Второй способ.
Рассмотрим бесконечно малый элемент нити длиной . Условие его равновесия записывается следующим образом:
Проецируя на направление касательной к нити, получим:
Пусть касательная к нити образует угол с вертикалью. Тогда для имеем:
откуда:
Но при этом , а , откуда:
Суммируя, получим:
Поскольку , а , получим:
Но поскольку :
Для напряжённости электростатического поля имеем:
откуда:
Определена сила натяжения нити в точке крепления груза: .
Записано условие равновесия системы: .
Из условия равновесия получены выражения для проекций напряжённости поля: и .
Метод 1: предложено воспользоваться методом виртуальных перемещений.
Метод 1: определена работа сил на виртуальном перемещении длиной : .
Метод 1: указано, что работа сил равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле.
Метод 1: изменение потенциальной энергии сведено к перемещению участка нити длиной .
Метод 1: записано .
Метод 1: для изменения потенциала записано .
Метод 1: определено изменение потенциала .
Метод 1: получено .
Метод 2: записано условие равновесия участка нити длиной : .
Метод 2: условие равновесия спроецировано на касательную к нити: .
Метод 2: получено .
Метод 2: получено .
Метод 2: указано, что и .
Метод 2: после суммирования получено .
Получено итоговое соотношение для силы натяжения и напряжённости поля.
Получен окончательный ответ для величины .