Петля с током
В горизонтальном однородном магнитном поле индукции висит гибкая проводящая нить длины , по которой течёт ток . Оба конца нити подвешены практически к одной и той же точке .
В равновесном положении эти концы образуют друг с другом угол , а расстояние между точкой подвеса и самой нижней точкой нити равно
(см. рис.). Ускорение свободного падения равно . Собственным магнитным полем тока можно пренебречь. Нить является однородной.
1. Найдите массу нити и силу натяжения нити в её нижней точке (точка на рисунке).
2. Определите силу натяжения нити в её крайней правой точке (точка на рисунке).
3. Найдите расстояние между крайней левой и крайней правой точкой висящей нити.
Решение.
Чтобы найти силу, с которой однородное магнитное поле воздействует на проводник с током, имеющий сложную форму, возьмём маленький участок проводника длины . Сила, действующая на него, равна
и направлена перпендикулярно (см. рис.).
Проекции этой силы на оси координат равны
Таким образом, суммируя по всем участкам проводника, получим, что
где и — координаты точек и соответственно.
Пусть — сила натяжения нити в верхней точке, а — линейная плотность нити. Рассмотрим правую половину нити и запишем условия равновесия для сил в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:
Отсюда найдём
Применяя метод виртуальных перемещений, получим
Отсюда следует, что
Рассмотрим участок нити и запишем условие равновесия для сил в проекции на горизонтальную ось:
где — высота точки относительно точки , равная, соответственно,
С другой стороны, применяя метод виртуальных перемещений, получим
Пусть — некоторая точка, находящаяся на высоте относительно точки и смещённая относительно неё на вправо. Обозначим силу натяжения нити в точке , — угол между касательной в точке и горизонталью, а — длину участка . Тогда
Дифференцируя первое уравнение и учитывая, что
получим
С другой стороны,
откуда имеем
Учитывая, что , окончательно получим значение :
Использовано, что проекция силы Ампера, действующей на участок проводника с током в однородном магнитном поле, равна или аналогичному выражению.
Правильно записаны условия равновесия для половины нити (левой или правой) в проекции на горизонтальную и вертикальную оси. Каждое верное уравнение — балла.
Получена верная связь между натяжением нити в точке и в точке , например или аналогичное соотношение.
Получено, что или .
Получено, что или .
Правильно записано условие равновесия участка (или ) в проекции на горизонтальную ось.
Получена верная связь между натяжением нити в точке и в точке (или ), например или аналогичное соотношение.
Получено, что или .
Записано условие равновесия в проекции на вертикальную ось для бесконечно малого участка нити: или аналогичное.
Записано условие равновесия в проекции на горизонтальную ось для участка нити: бесконечно малого, находящегося в произвольном месте, либо соединяющего точку (или , или ) с произвольной точкой.
Получено, что или аналогичное выражение.
Получено корректное выражение для в виде интеграла.
Получено, что или .