Хитрая пушка
Скорость вылета снаряда из игрушечной пушки зависит от угла с вертикалью, под которым производится выстрел. Особенность этой зависимости состоит в том, что угловая скорость вращения вектора скорости снаряда сразу после выстрела не зависит от угла , под которым произведён выстрел, и равна . Пушка располагается у подножия длинной горки, образующей угол с горизонтом. Траектория снаряда лежит в плоскости рисунка и такова, что в определённый момент снаряд падает на горку. Сопротивлением воздуха, а также размерами пушки и снаряда можно пренебречь.
Чему равно максимально возможное время полёта снаряда до падения на горку?
Ответ
Решение.
Пусть ускорение свободного падения равняется , а выстрел производится под углом к вертикали со скоростью . Тогда имеем:
Далее можно решать задачу четырьмя способами.
Первый способ.
Введём координатную ось , направленную перпендикулярно поверхности горки. Проекция ускорения снаряда на ось равна . Тогда для времени полёта снаряда имеем:
Максимально возможному времени полёта снаряда соответствует максимальное значение . Введём систему координат с началом в месте расположения пушки, где ось направлена вправо, а ось — вертикально вверх. Тогда:
откуда получаем:
Таким образом, геометрическое место точек конца вектора скорости представляет собой окружность.
Из геометрии рисунка следует, что максимальное время полёта соответствует максимально возможному значению , которое достигается, когда конец вектора скорости лежит на перпендикуляре, проведённом к направлению поверхности горки из центра окружности. Получаем:
откуда
Второй способ.
Проекция начальной скорости снаряда на ось равна . Тогда для времени полёта снаряда имеем:
Воспользуемся преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму:
Максимальное значение .
Аналогично преобразованию произведения тригонометрических функций в сумму, можно найти максимальное значение , продифференцировав полученное выражение по :
Отсюда:
Таким образом:
Тогда максимальное время составляет:
Третий способ.
Построим векторный треугольник перемещений для момента падения снаряда на горку. В указанный момент времени вектор перемещения образует угол с горизонтом, поэтому из теоремы синусов находим:
Отсюда:
Исследование полученного выражения на максимум совпадает с проделанным в рамках первого способа решения. Таким образом:
Четвёртый способ.
Решим задачу классическим способом — используя зависимости координат и от времени :
В момент падения камня на горку . Отсюда:
Введём переменную . Учитывая, что
получим:
Время принимает максимальное значение, когда максимальное значение принимает функция . Определим величину , соответствующую максимальному значению :
Решая квадратное уравнение, получим:
Таким образом:
Максимальное значение может быть найдено и без использования производной. Действительно:
Исследуем дискриминант полученного уравнения:
Максимально возможное значение соответствует равному нулю дискриминанту. Отсюда:
Окончательно: