Росатом 2026, 10 класс, задача 5
Вертикальная стенка с отверстием в виде правильного треугольника со стороной и горизонтальным основанием разделяет сосуд на две половины. В эти части сосуда налиты разные жидкости: в одну половину налита жидкость с плотностью , в другую налита жидкость с плотностью . Высота уровня жидкостей по отношению к основанию отверстия - (см. левый рисунок; справа показана перегородка сбоку). Отверстие заткнуто пробкой в виде конуса соответствующего размера. Найти силу, действующую на пробку со стороны жидкостей. Считать, что пробка закрывает отверстие герметично. Указание. Объем конуса с площадью основания и высотой равен .
Решение.
Найдем силу, действующую на конус со стороны первой и второй жидкости, а потом и их равнодействующую. И первая, и вторая жидкость действуют на половину основания и половину боковой поверхности конуса.
Эту силу можно найти так. Пусть в жидкости плотности находится половина конуса, образованная половиной основания, половиной боковой поверхности и вертикальным сечением, содержащим ось конуса (см. рисунок). Согласно закону Архимеда на эту половину конуса действует сила Архимеда, направленная вертикально вверх и равная
С другой стороны, эта сила складывается из силы, действующей на половину дна и боковую поверхность (обозначим ее как ), и на вертикальное сечение конуса, которая направлена горизонтально (обозначим ее как )
(эти силы показаны на рисунке). Отсюда находим, что сила, действующая на боковую поверхность и половину основания конуса, есть
Это значит, что эта сила имеет вертикальную составляющую и горизонтальную составляющую .
Найдем силу , действующую со стороны жидкости на вертикальное сечение конуса. Мысленно разобьем это сечение на узкие полоски, параллельные основанию сечения (см. рисунок, на котором показана одна такая полоска), вычислим силу, действующую на каждую, просуммируем эти силы. На каждую полоску действует сила
где - глубина расположения полоски, - её площадь. Поэтому на все вертикальное сечение действует такая сила
Сумму в скобках можно вычислить так. Если бы имели плоский треугольник с поверхностной плотностью , расположенный в поле силы тяжести так, как показано на рисунке, то сумма
есть момент силы тяжести, действующей на треугольник, относительно точки (см. рисунок). С одной стороны, это та сумма, которую нам нужно вычислить, с другой, сводится к произведению суммарной силы тяжести на плечо относительно точки центра тяжести треугольника, который расположен в точке пересечения его медиан. Поэтому
где - площадь треугольного сечения конуса, - расстояние от поверхности жидкости до основания конуса, - расстояние от основания треугольного выреза до его центра тяжести, который расположен в точке пересечения медиан. Отсюда находим силу, действующую на вертикальное сечение конуса
А это значит, что жидкость действует на половину дна и боковую поверхность половинки конуса с силой, имеющей вертикальную составляющую
и горизонтальную составляющую
Теперь учтем, что на нашу коническую пробку действуют две жидкости - с плотностью и . Очевидно, вертикальные составляющие сил, действующих со стороны жидкости, складываются, поэтому
причем сила направлена в сторону более лёгкой жидкости. Поэтому суммарная сила, действующая со стороны жидкостей на пробку, есть
Направлена эта сила под углом к горизонту, тангенс которого равен
Правильная идея нахождения силы, действующей на половину основания и боковой поверхности конуса со стороны жидкости - найти силу действующую на половину конуса, вычесть силу, действующую на вертикальное сечение
Правильно найдена сила, действующая со стороны жидкости на вертикальное сечение (с обоснованием, почему среднее давление нужно брать на глубине центра тяжести вертикального сечения). Комментарий. Если нет разумного обоснования, почему среднее давление нужно брать на глубине центра тяжести по 2 критерию ставить 0.
Правильно найдена сила, действующая на конус со стороны каждой жидкости - и горизонтальная, и вертикальная составляющая
Правильный ответ для величины силы, действующей со стороны жидкостей на конус
Правильный ответ для угла, под которым направлена эта сила