МОШ 2026, 9 класс, задача 3

В спортивных играх с мячом широко применяются кручёные удары, при которых мячу сообщается не только поступательная скорость, но и вращение. В результате мяч движется по сложной траектории и при определённых условиях отклоняется в сторону от вертикальной плоскости, содержащей вектор начальной скорости.

Такая траектория мяча объясняется эффектом Магнуса. Взаимодействие вращающегося мяча с воздухом количественно характеризуется двумя силами: силой сопротивления (направленной противоположно скорости центра мяча) и силой Магнуса , направленной перпендикулярно скорости (см. рис. 3) и также перпендикулярно оси вращения. В этой задаче считается, что ось вращения перпендикулярна направлению скорости центра мяча.

В первом приближении можно считать, что эти силы задаются формулами

где и - постоянные коэффициенты, - скорость центра мяча, - угловая скорость его вращения (предполагается, что в процессе полёта она не изменяется).

Анализ движения вращающегося тела в поле тяжести при наличии аэродинамических сил достаточно сложен. Поэтому далее мы пренебрежём силой тяжести и ограничимся рассмотрением плоского движения мяча под действием только двух сил: лобового сопротивления и силы Магнуса .

• Пусть , то есть сила сопротивления отсутствует. Известны величины , и . Мяч вылетает из точки со скоростью под углом к горизонтальной прямой. Найдите расстояние , где - точка повторного пересечения траектории с этой прямой.
• В этом пункте . Мяч массой вылетает со скоростью под углом к вертикали. Угловая скорость вращения . Траектория движения мяча за промежуток времени показана на рис. 4. Этот график получен методом численного моделирования; копия графика представлена на листе 4, см. рис. 7. Зависимость модуля скорости мяча от времени за тот же промежуток приведена на рис. 5. Используя графики, определите коэффициенты и с максимально возможной точностью.

Примечание. Масса и указанные кинематические параметры типичны для мяча в настольном теннисе при кручёных ударах средней силы.