Росатом 2024, 10 класс, задача 5
Две трубы площадью сечения и состыкованы между собой и закрыты двумя теплонепроницаемыми поршнями, связанными пружиной с коэффициентом жесткости . Между поршнями находится идеальный газ с температурой , трубы открыты в атмосферу. В равновесии поршни находятся на одинаковых расстояниях от стыка. В некоторый момент времени температуру газа между поршнями медленно уменьшают до температуры . На сколько сжатой или растянутой окажется после этого пружина по сравнению с недеформированным состоянием? Атмосферное давление известно.
Решение.
Исследуем сначала условия равновесия поршней в трубах в начальном состоянии. Рассмотрим условие равновесия тела, состоящего из двух поршней и пружины. Внешними силами по отношению к этому телу являются силы, действующие на поршни со стороны газа между поршнями и атмосферного воздуха (силы упругости пружин - если пружина растянута или сжата - являются внутренними для этой системы тел). Это значит, что давление газа между поршнями равно атмосферному давлению. А если теперь рассмотреть условие равновесия любого из поршней, то можно заключить, что в начальном состоянии пружина не деформирована. Итак, в начальном состоянии давление газа между поршнями равно атмосферному давлению, а пружина не деформирована.
Если теперь уменьшить температуру газа между поршнями, то условие равновесия поршней остается таким же - давление газа между поршнями равно атмосферному, пружина не деформирована. Следовательно, с газом между поршнями происходит изобарический процесс с уменьшением температуры и объема. Это значит, что поршни передвинутся в направлении узкой трубы так, что расстояние между ними не изменится, а объем газа между поршнями будет уменьшаться. И при некоторой температуре большой поршень достигнет стыка труб. Поскольку объем газа в этом состоянии будет равен , из закона Гей-Люссака имеем
где - температура, при которой большой поршень дойдет до стыка труб. Отсюда находим
При дальнейшем понижении температуры условия равновесия поршней уже будут другими, поскольку на большой поршень действует сила со стороны стыка труб. Поэтому условие равновесия сводится к условию равновесия малого поршня. Ясно, что при понижении температуры газа между поршнями давление этого газа будет уменьшаться, и атмосферное давление сожмет пружину, переместив малый поршень к стыку труб. Пусть перемещение этого поршня при температуре равно . Тогда объединенный газовый закон и условие равновесия малого поршня дают
где - давление газа между поршнями при температуре . Отсюда получаем квадратное уравнение для деформации пружины
Решая это квадратное уравнение, получим
(второй корень не подходит, поскольку он больше самой длины пружины). Таким образом, при понижении температуры до значения пружина будет сжатой, ее деформация определяется формулой .
Из условия равновесия поршней доказано, что давление газа между поршнями равно атмосферному, пружина не деформирована
Правильный вывод, что при понижении температуры поршни будут перемещаться в направлении узкой трубы, а пружина останется не деформированной
Правильно найдена температура, при которой большой поршень достигнет стыка труб
Правильная система уравнений для (объединенный газовый закон и условие равновесия малого поршня)
Правильный ответ