Об стену

1. Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с центром масс системы (центром шарика).

Рассмотрим силы, действующие на твердое тело «стержень + шайба ». Со стороны стенки на шайбу действует сила = + , приложенная к точке контакта со стеной. На свободный конец стержня действует сила со стороны шайбы . Также действует сила инерции, приложенная к центру масс тела (центру шайбы). Запишем закон сохранения энергии. Кинетическая энергия тела в этой системе отсчета стремится к нулю, так как центр шайбы неподвижен, ее размер мал, а стержень невесомый. Тогда суммарная работа всех сил, а как следствие и суммарная мощность, равна нулю. Сила инерции работу не совершает (центр масс не движется). Мощность силы равна , где — угловая скорость вращения стержня. Мощность силы равна . Знаки написаны в предположении вращения стержня против часовой стрелки. Следовательно, силу можно считать направленной вдоль стержня. Теперь рассмотрим только стержень. На него действует сила со стороны шайбы и сила ′ со стороны шайбы . Так как стержень невесомый, то + ′ = , откуда ′ = - , следовательно направлена вдоль стержня.

2. Первое решение: Поскольку силы, действующие со стороны стержня на шайбы, можно считать направленными вдоль стержня, то в процессе соударения скорость шайбы всегда направлена вдоль стержня. Данное утверждение не зависит от вида взаимодействия шайбы со стенкой и применимо всегда. Также данное утверждение можно доказать, используя закон сохранения момента импульса относительно точки контакта шайбы со стенкой. Момент импульса шайбы относительно выбранной точки можно считать равным нулю, поскольку размеры шайб малы. Тогда, поскольку до соударения момент импульса системы относительно выбранной точки равен нулю:

Пусть и — скорость шайбы и угловая скорость вращения стержня сразу после соударения соответственно. Поскольку стержень жёсткий – компонента скорости шайбы , направленная вдоль стержня, также равна , а компонента скорости, перпендикулярная стержню, равна . Пусть — масса одной шайбы. Поскольку трения между шайбой и стенкой нет, то для системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось , направленную вдоль стенки: Поскольку удар упругий – для системы выполняется закон сохранения механической энергии: Приравнивая выражения для , получим:

откуда:

Второе решение:

Поскольку размеры шайб малы, а стержень жёстко прикреплён к шайбе , рассматриваемую систему можно считать твёрдым телом с материальными точками на концах стержня. Запишем уравнение динамики вращательного движения относительно центра стержня (который также является центром масс рассматриваемой системы):

где — сила нормальной реакции стенки. Пусть — импульс силы нормальной реакции стенки. Тогда имеем:

Запишем теорему о движении центра масс системы:

Отсюда видно, что проекция скорости центра масс на ось при соударении остаётся постоянной и равной:

Пусть — скорость центра масс в проекции на ось сразу после удара. Тогда из теоремы о движении центра масс получим:

Поскольку соударение упругое, кинетическая энергия системы сохраняется. Воспользуемся теоремой Кёнига и получим выражение для кинетической энергии системы:

откуда:

Скомбинируем полученные уравнения:

откуда:

3. Первое решение:

Сразу после абсолютно неупругого соударения шайбы со стенкой её скорость направлена вдоль стенки. Обозначим её за . Приравнивая проекции скоростей шайб на ось, направленную вдоль стержня, получим: Компонента скорости шайбы , направленная перпендикулярно стержню, равна , поэтому для угловой скорости вращения стержня имеем: Изменения импульса системы в проекции на оси и составляют:

Подставляя связь и , получим:

Определим скорость , считая, что шайба всегда проскальзывает по стенке. Критерием правильности рассуждений является неотрицательное значение . На систему в плоскости рисунка действуют две внешние силы: и . Поскольку силы связаны прямой пропорциональностью, имеем:

откуда:

Величина является неотрицательной, если и . Невозможность постоянного проскальзывания при ясна и чисто из физических соображений, однако это можно показать и формально: при таких значениях введённая ранее величина оказывается отрицательной, что, разумеется, невозможно. Таким образом, условие постоянного проскальзывания шайбы следующее:

Обратим внимание, что , а . Тогда при коэффициенте трения для угловой скорости стержня сразу после удара получим:

При шайба в некоторый момент соударения прекращает движение вдоль стенки и далее по ней не проскальзывает. Покажем это. Пусть — сила напряжения стержня. Запишем второй закон Ньютона для шайбы в проекции на ось :

Проскальзывание может возобновиться, если . Но из полученного выражения для следует:

поэтому проскальзывание шайбы не возобновится, и, следовательно, сразу после соударения её скорость равна нулю. Тогда при в силу полученной связи и находим:

Второе решение:

Сразу после абсолютно неупругого соударения шайбы со стенкой её скорость направлена вдоль стенки. Обозначим её за . Запишем выражение для скорости шайбы и условие её движения без отрыва от стенки:

Изменения импульса системы в проекции на оси и составляют:

Запишем уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс системы:

где — проекция на ось силы трения, действующей на шарик 2. Отсюда:

Определим скорость , считая, что шайба всегда проскальзывает по стенке. Критерием правильности рассуждений является неотрицательное значение . Из уравнения динамики вращательного движения и уравнений кинематической связи имеем:

После преобразований получим:

Если проскальзывание не прекращается, то , откуда:

Из полученного соотношения и уравнений кинематической связи имеем:

Подставляя полученную ранее связь и , находим:

Величина является неотрицательной, если и . Невозможность постоянного проскальзывания при ясна и чисто из физических соображений, однако это можно показать и формально: при таких значениях введённая ранее величина оказывается отрицательной, что, разумеется, невозможно. Таким образом, условие постоянного проскальзывания шайбы следующее:

Тогда при для угловой скорости стержня сразу после удара получим:

При шайба в некоторый момент соударения прекращает движение вдоль стенки и далее по ней не проскальзывает. Покажем это. Если , то с учетом пренебрежимо малого изменения координат (углов) за время удара выполняется соотношение:

Определим из этого условия силу трения , действующую на шарик 2:

Это доказывает, что предположение об отсутствии проскальзывания после обнуления проекции скорости шайбы верно. Тогда при в силу полученной связи и находим: