Призма
На шероховатой горизонтальной поверхности стола находится система, состоящая из призмы массой , снабжённой лёгким блоком, и бруска массой (см. рис.). Боковая поверхность призмы является гладкой, а угол между гранью, на которой находится брусок, и поверхностью стола равен (). К бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, перекинутая через блок, к противоположному концу которой приложена горизонтальная сила . Известно, что ускорение призмы не зависит от величины этой силы.
-
Определите возможные значения коэффициента трения между призмой и поверхностью стола.
-
Для каждого из полученных в пункте 1 значений найдите ускорение призмы .
Ускорение свободного падения равно . Наклонный отрезок нити параллелен левой боковой грани призмы. Трение в оси блока отсутствует.
Ответ
Первый способ решения
Изобразим силы, действующие на призму (рис. 1). Обозначим силу взаимодействия между бруском и призмой, — силу нормальной реакции, а — силу трения, действующую на призму со стороны стола. Тогда
Ускорение бруска относительно стола, для удобства, разложим на две составляющие: ускорение призмы и ускорение бруска относительно поверхности призмы , которое направлено параллельно её левой боковой поверхности (рис. 2).
Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на ось, перпендикулярную направлению его относительного движения:
Полученная формула для не содержит явно величину силы , а ускорение призмы, согласно условию, не зависит от . Отсюда следует, что и не зависит от величины этой силы.
Рассмотрим два случая: 1) призма движется относительно стола; 2) трение не позволяет призме двигаться.
- Пусть призма скользит по поверхности стола, то есть . Тогда
и
Чтобы ускорение не зависело от силы , все слагаемые, включающие её, должны сократиться. Это возможно, если
- Пусть теперь призма не скользит, то есть . Тогда и
Перегруппируем выражения в полученном неравенстве:
Так как оно должно выполняться при любых значениях (в том числе при ), выражение в правой части должно быть неотрицательным, а выражение в левой части — наоборот, неположительным. Отсюда следует, что
и
Поскольку последнее неравенство — более сильное, получим, что призма будет покоиться при любом значении , если .
Используя полученное выше значение , найдём величину ускорения в случае, когда призма скользит по столу:
Второй способ решения
Изобразим силы, действующие на призму (рис. 1). Обозначим силу взаимодействия между бруском и призмой, — силу нормальной реакции, а — силу трения, действующую на призму со стороны стола. Тогда, из второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось:
Ускорение бруска относительно стола, для удобства, разложим на две составляющие: ускорение призмы и ускорение бруска относительно поверхности призмы , которое направлено параллельно её левой боковой поверхности (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на ось, перпендикулярную направлению его относительного движения:
Полученная формула для не содержит явно величину силы , а ускорение призмы, согласно условию, не зависит от . Отсюда следует, что и не зависит от величины этой силы.
Рассмотрим случай, когда призма скользит. Результирующая сила , действующая на блок со стороны нити, направлена под углом к вертикали (рис. 3). Вместо и введём вектор полной силы реакции опоры
Из второго закона Ньютона для призмы в проекции на ось , перпендикулярную силе :
В приведённой формуле все слагаемые, кроме , не зависят от , это означает, что . Такое возможно, если вектор направлен перпендикулярно оси , т. е. под углом к вертикали. Тогда коэффициент трения:
Ускорение найдём, подставив в соотношение (a):
Откуда
В случае, когда трение не позволяет призме двигаться, сумма сил, действующих на неё, равна нулю:
Рассмотрим одно из возможных значений , тогда
Последнее неравенство показывает, что при росте угол между вертикалью и вектором будет уменьшаться. А это означает, что — предельный угол отклонения от вертикали, т. е. при .