Отрыв
На гладкую горизонтальную поверхность положили маленький шарик массой . К нему прикрепили легкую нерастяжимую нить, переброшенную через легкий блок пренебрежимо малого радиуса, на другом конце которой подвесили груз массой (см. рис.).
Систему отпустили из состояния покоя (изображенного на рисунке пунктирной линией). В некоторый момент времени, когда нить наклонена к горизонту под углом , шарик отрывается от поверхности, а ускорение груза в этот момент времени равно нулю. Трение в оси блока отсутствует.
- Найдите отношение .
- Найдите угла нити к горизонту в начальный момент времени.
1. Введём систему координат так, как показано на рисунке. Пусть — ускорение шарика в момент его отрыва от поверхности. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось , принимая во внимание, что в момент отрыва .
Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на ось , принимая во внимание, что груз не ускоряется:
Исключая из уравнений и силу натяжения , находим отношение масс:
2. Пусть и — скорости шарика и груза соответственно в рассматриваемый момент, а — высота блока над поверхностью.
Поскольку нить нерастяжима, проекция скорости шарика на ось равна :
Поскольку трения в системе нет, выполняется закон сохранения механической энергии:
где — изменение длины наклонного участка нити. Подставляя отношение и соотношение в уравнение , получим:
откуда:
Таким образом, задача сводится к определению безразмерного параметра , для нахождений которого проанализируем динамику шарика.
Запишем второй закон Ньютона для шарика в проекции на горизонтальную ось :
Введём ось , направленную вдоль наклонного участка нити от шарика к блоку (т.е. образующую угол с горизонтом). Проекция ускорения шарика на ось равняется
Перейдём в систему отсчёта точки наклонного участка нити, в которой он касается блока. Ускорение шарика в данной системе отсчёта равняется:
Поскольку ускорение груза равняется нулю — тангенциальное ускорение точки также равняется нулю, откуда следует, что полное ускорение точки направлено перпендикулярно наклонному участку нити. Тогда в рассматриваемой системе отсчёта:
В системе отсчёта точки шарик движется по окружности радиусом , равным длине наклонного участка нити, со скоростью , равной проекции скорости шарика на ось, перпендикулярную оси . Поэтому из выражения для центростремительного ускорения получим:
Приравнивая и , находим:
Подставляя в , получим:
откуда находим угол :
Правильно записан второй закон Ньютона для груза в момент отрыва шарика.
Найдена сила натяжения нити в момент отрыва шарика: .
Правильно записан второй закон Ньютона для шарика в проекции на вертикальную ось.
Утверждение, что в момент отрыва сила реакции опоры на шарик равна нулю.
Обоснованное утверждение, что в момент отрыва проекция ускорения шарика на вертикальную ось равна нулю или ускорение шарика направленно горизонтально.
Найден ответ на первый вопрос: . Если ответ получен необосновано или из неверных соображений, балл за данный пункт не ставится.
Найдена связь между скоростью шарика и скоростью груза : .
Закон сохранения механической энергии записан корректно: учтены изменение кинетической энергии системы и изменение потенциальной энергии системы.
Найдена правильная геометрическая связь между высотой опускания груза и высотой блока над поверхностью или длиной наклонной части нити в момент отрыва: , .
Правильно записан второй закон Ньютона для шарика в проекции на горизонтальную ось в момент отрыва шарика.
Найдено ускорение шарика .
Найдена проекция ускорения шарика на ось, сонаправленную наклонному участку нити: .
Присутствуют рассуждения о том, что в системе отсчета точки нормальное ускорение равняется .
Указано, что шарик движется по окружности относительно точки касания наклонного участка нити и блока.
Найдено нормальное ускорение шарика в системе отсчета точки : .
Найдено или .
Найдена связь между скоростью шарика и геометрическими параметрами: , .
Найден правильный ответ: .