Аквариум на пружинах
У кубического тонкостенного аквариума разбилась боковая стенка. Новую стенку решили прижать пружинными фиксаторами. Первую пружину жесткостью закрепили у середины верхнего ребра новой стенки, а вторую пружину жесткостью — у середины нижнего ребра. После этого аквариум придвинули к вертикальной стене (см. рис.).
Все поверхности в местах контакта новой стенки с аквариумом плоские и гладкие. Новая стенка жесткая, полностью перекрывает прилегающие боковые стенки и дно, и параллельна плоскости стены. Сила трения в месте контакта стенки со столом пренебрежимо мала. Длины пружин в недеформированном состоянии одинаковы.
- Каким должно быть минимальное сжатие пружин, чтобы аквариум можно было наполнить водой плотностью до краёв? Во время заполнения аквариум считать неподвижным, а вода не просачивается в местах контакта стенки с аквариумом.
- Каким станет минимальное сжатие пружин, если их поменять местами?
Ускорение свободного падения считать известным.
Ответ
1. Метод 1:
Воспользуемся методом виртуальных перемещений для определения сил. Для этого определим изменение потенциальной энергии равное работе силы тяжести. Представим, что жидкость переходит из верхнего слоя в образовавшееся пространство, тогда . Масса перешедшей жидкости .
Для равнодействующей сил давления получаем:
Для моментов сил давления относительно верхнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на :
Для моментов сил давления относительно нижнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на :
Метод 2:
В заполненном аквариуме на боковую стенку действует сила давления воды . Для решения необходимо определить точку приложения этой силы. Поскольку по горизонтали давление воды на одном и том же уровне одинаково, очевидно, что эта точка будет находиться на серединной вертикали.
По вертикали давление распределяется линейно от нуля наверху до внизу.
Известно, что центр тяжести треугольника расположен в точке пересечения его медиан. Используя аналогию распределения давления по вертикали в нашем случае с распределением по высоте массы полосок одинаковой ширины, на которые параллельно основанию мысленно разрезан равнобедренный треугольник, можно утверждать, что точка приложения силы находится на расстоянии от дна сосуда.
Метод 3:
Строгий математический расчёт силы и моментов сил можно провести с помощью интегрирования. Определим давление как функцию — глубины от поверхности жидкости:
Суммарная сила давления воды:
Момент силы относительно верхней кромки:
Момент силы относительно нижней кромки:
Условия для отсутствия протечек можно записать в виде неравенств:
Очевидно, неравенство наиболее жесткое.
Откуда
2. Отметим, что, поскольку пружины сжимаются одинаково, суммарная сила, с которой они будут давить на стенку аквариума будет в раза больше силы давления воды.
Если пружины в условии поменять местами, последние условия примут вид:
Откуда
При этом суммарная сила, с которой пружины будут давить на стенку аквариума в точности совпадет с силой давления.