ВсОШ 2026, Муницип, 11 класс, задача 3
На гладкий горизонтально расположенный цилиндр радиусом накинута лёгкая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены два маленьких шарика массами и (). В начальный момент шарики находятся на одном уровне с осью цилиндра (см. рис.). Нить с шариками начинает соскальзывать с цилиндра из состояния покоя. Когда угол между горизонталью и направлением от оси цилиндра на лёгкий шарик стал равен , лёгкий шарик перестал давить на цилиндр. Ускорение свободного падения .
-
Определите отношение масс шариков . Ответ дайте с точностью до сотых долей. (4 балла)
-
Какой угол образует с горизонталью направление от оси цилиндра на лёгкий шарик в тот момент, когда сила давления лёгкого шарика на цилиндр максимальна? Ответ дайте в радианах с точностью до сотых долей. (4 балла)
-
Какова скорость лёгкого шарика при прохождении им положения, в котором он действует на цилиндр с максимальной силой? Ответ дайте в с точностью до целого числа. (2 балла)
Решение.
1. Рассмотрим систему в тот момент, когда шарик меньшей массы находится в точке . К этому моменту времени шарик большей массы опустился на расстояние .
Нить нерастяжима, значит, модули скоростей и шариков до момента отрыва от поверхности более лёгкого шарика одинаковы: . Тогда по закону сохранения энергии:
Отсюда получаем:
Шарик массой в точке не оказывает давления на поверхность цилиндра. Значит, сила нормальной реакции опоры в данной точке равна нулю.
Запишем второй закон Ньютона для лёгкого шарика в проекции на ось, направленную к оси цилиндра, в произвольный момент:
Отсюда
Подставив нулевое значение для силы нормальной реакции опоры в предыдущее выражение, получим ответ:
2. В момент, когда более лёгкий шар оказывает максимальное давление на поверхность цилиндра, функция достигает своего максимального значения, следовательно, производная . Отсюда получаем:
3. Скорость шарика в этот момент определим из выражения:
Ответ.
1. .
2. .
3. .
Максимальный балл за задачу