ВсОШ 2026, Муницип, 8 класс, задача 1
Чабаны Умар и Иса считают овец. Умар стоит на левом склоне узкого ущелья и считает овец, идущих по дну ущелья вправо со скоростью . Иса стоит на правом склоне другого ущелья и считает овец, идущих по дну ущелья влево со скоростью . Длина левого ущелья , длина правого ущелья . Скорость чабанов верхом на лошади .
- Умар и Иса решили встретиться на полпути между ущельями и выехали одновременно от своих мест наблюдения. Через какое время после приезда Умару придётся ждать Ису? Ответ дайте в минутах. (2 балла)
Пусть овцы входят в ущелье по одной через равные промежутки времени, а последняя овца входит в ущелье сразу после ухода чабана. Умар насчитал овец, а Иса — овец.
-
Сколько овец одновременно находится в двух ущельях? (3 балла)
-
Сколько овец проходит через оба ущелья за час? (3 балла)
После встречи Умар поехал обратно через левое ущелье.
- Сколько овец он встретит на обратном пути? (4 балла)
Решение.
Время проезда чабанов вдоль ущелий:
Разность времён:
Пусть расстояние между соседними овцами в коротком ущелье равно , тогда интервал между овцами, проходящими мимо Умара,
За время движения чабана вдоль ущелья:
откуда
Число овец, одновременно находящихся в коротком ущелье:
Аналогично для длинного ущелья:
Всего:
За время через короткое ущелье проходит
Для длинного ущелья:
Тогда
На обратном пути Умар движется навстречу овцам, поэтому
Число встреченных овец:
Ответ.
- .
- .
- .
- .
Максимальный балл за задачу