ВсОШ 2024, Муницип, 10 класс, задачи 9–10
Рыбак, стоя в лодке и закрыв один глаз, наблюдает за растущим на берегу у самой воды вертикальным деревом и его отражением в воде (см. рис.). Видимый рыбаком угловой размер дерева (по вертикали) составляет , а видимый угловой размер изображения дерева равен . Угловой размер объекта — это угол между лучами, проведёнными из точки наблюдения к крайним точкам объекта. Известно, что уровень глаз рыбака находится на высоте от поверхности воды.
1. Определите расстояние от рыбака до дерева (по горизонтали). Дайте ответ в метрах с округлением до десятых долей.
2. Рассчитайте высоту дерева. Дайте ответ в метрах с округлением до десятых долей.
Решение.
Сделаем чертёж, отразив отражение дерева зеркально относительно поверхности воды. Пусть — расстояние от рыбака до дерева, — высота дерева.
Воспользуемся тригонометрическими соотношениями для тангенса суммы (разности) двух углов:
Так, угловой размер самого дерева может быть получен суммой двух углов, отсчитываемых от горизонтальной линии, проходящей на уровне глаз рыбака, и крайними лучами, проведёнными к вершине и основанию дерева:
Аналогично для отражения дерева:
Перевернув полученные соотношения, сложим и вычтем их:
1. Из второго уравнения рассчитаем расстояние до дерева:
2. Тогда из первого уравнения найдём высоту дерева:
Ответы.
| Вопрос | 1 | 2 |
|---|---|---|
| Ответ |
Максимальный балл за задачу