Разная работа
В горизонтально расположенной теплоизолированной трубе между двумя подвижными теплоизолирующими поршнями находятся в состоянии теплового равновесия при температуре две порции идеального одноатомного газа, разделённые жёсткой, неподвижной, хорошо проводящей тепло перегородкой (см. рисунок). Поршни могут двигаться вдоль оси трубы, не испытывая сопротивления. Снаружи поршней находится воздух при атмосферном давлении. Количество газа в каждой порции равно моль. К правому поршню прикладывается сила (меняющаяся со временем), и поршень медленно перемещается, температура газа при этом квазистатически уменьшается на . Универсальная газовая постоянная равна .
А) Найдите теплоёмкость порции газа, располагающейся справа от перегородки, в начале и в конце процесса охлаждения.
Б) Какую работу совершает газ, располагающийся справа от перегородки, в процессе охлаждения? Какую работу при этом совершает приложенная к поршню внешняя сила?
Решение.
Изменение состояния газа слева и справа от перегородки происходит таким образом, что температура обоих порций остаётся одинаковой. Газ, располагающийся слева от перегородки, сжимается, поскольку его температура уменьшается при постоянном давлении, отдавая при изменении температуры на количество теплоты
В формуле (1) считается, что и . Теплота (1) отдаётся порции газа в правом отсеке, которая получает количество теплоты, равное только от газа в левом отсеке, поэтому теплоёмкость этой порции в любой момент в процессе охлаждения равна
Таким образом, с газом в правом отсеке совершается политропический процесс с показателем политропы
Работа газа, находящегося в правом отсеке, может быть найдена из первого начала термодинамики. С учётом полученного значения теплоёмкости (2) имеем формулу
где .
Для того, чтобы вычислить работу внешней силы, определим сначала конечный объём порции газа, расположенной справа от перегородки. Это можно сделать двумя способами.
Используя уравнение политропического процесса , где - показатель политропы, найденный выше, а также уравнение состояния идеального газа, имеем равенство
из которого следует формула для объёма в конце процесса охлаждения
С другой стороны, можно было бы записать соотношение, отражающее первое начало термодинамики для газа, расположенного справа от перегородки
Из этого соотношения после преобразований и подстановки значений теплоёмкостей следует дифференциальное уравнение
интегрируя которое, получаем равенство
и далее формулу (4) для объёма.
Теперь можно перейти к определению работы внешней силы. Поскольку правый поршень перемещается очень медленно, суммарная работа всех сил, действующих на него, равна нулю, следовательно справедливо равенство , подставляя в которое объём из формулы (4) и работу газа из формулы (3), получаем ответ
Ответ. 1a. ; 1b. ,
В пункте 1a найдена теплоёмкость в начале процесса охлаждения.
Найдена теплоёмкость порции газа, располагающейся справа от перегородки, в конце процесса охлаждения.
Физически правильные рассуждения, не приводящие к верным ответам вследствие вычислительных ошибок, оцениваются из расчёта 0,5 балла за каждый из ответов.
В пункте 1b верно найденная работа газа оценивается в 1,5 балла, верно найденная работа силы - в 4,5 балла.
Если в пункте 1b на первый вопрос дан неверный ответ только вследствие вычислительных ошибок, то оценка за ответ на этот вопрос снижается до 1 балла.
Если на второй вопрос дан неверный ответ только вследствие вычислительных ошибок, то такой ответ на второй вопрос оценивается в 3 балла.
Если неверный ответ на второй вопрос является только следствием неверно найденной работы газа в первом вопросе, то оценка за ответ на второй вопрос не снижается.
Высказана мысль о том, что работа силы есть разность работ сил атмосферного давления и работы газа.
Указывается, что процесс политропический, записывается уравнение политропы.
Если вместо уравнения политропы получено дифференциальное уравнение для определения изменения объёма, то выставляется 0,5 балла за дифференциальное уравнение.
Верно найдено изменение объёма.
Если изменение объёма найдено неверно, но только вследствие вычислительных ошибок, то выставляется 0,5 балла.