Инженерная олимпиада 2020, 9-10 класс задача 5, 11 класс задача 1
Имеется цилиндрическая трубка, внутренняя поверхность которой является зеркальной. С одного конца трубка открыта, второй конец трубки закрыт круглой пластинкой, в центре которой сделано маленькое отверстие. Внутри трубки на ее оси на расстоянии от закрытого конца расположили точечный источник света, а на расстоянии от него за трубкой - экран (см. рисунок). В результате на экране появилась система освещенных колец. Объясните их образование и найдите радиус пятого кольца. Дифракцией света на отверстии пренебречь.
Через отверстия пройдут лучи, падающие непосредственно на отверстие, но не только они. Через отверстие пройдут лучи, попавшие на него после отражений от зеркала. В частности, лучи, упавшие на поверхность зеркала на расстоянии от конца трубы (см. рисунок), на расстоянии (рисунок), и т.д. А лучи, падающие на внутреннюю поверхность трубки под углами, большими, чем те, что показаны на верхнем рисунке, в отверстие не попадут. А это значит, что на экране мы увидим систему ярких колец в тех местах, куда попадут лучи, и неосвещенных - в тех местах, куда лучи не попадут.
Радиусы этих колец можно найти из следующих соображений. Лучи, образующие первое кольцо, испытают одно отражение от внутренней поверхности трубки ровно посередине от источника до отверстия. Поэтому из подобия треугольников и имеем для радиуса первого кольца
Лучи, образующие второе кольцо, испытают два отражение от внутренней поверхности трубки; первое из их - на расстоянии , и т.д. Поэтому для радиуса -го кольца находим
В частности, для радиуса пятого кольца получаем
Правильное объяснение принципа возникновения колец
Правильное построение хода лучей, формирующих кольца
Правильный метод вычисления радиусов колец
Правильные вычисления радиуса пятого кольца