Инженерная олимпиада 2023, 11 класс, задача 3
К очень длинной гладкой горизонтальной доске с помощью невесомой нерастяжимой веревки привязан массивный шар (см. левый рисунок). Как изменится сила натяжения веревки - увеличится или уменьшится, - если доску расположить вертикально? Во сколько раз изменится сила натяжения веревки? Длина веревки в 3 раза больше радиуса шара.
Пусть масса шара . Тогда сила натяжения нити в первом случае равна силе тяжести шара
Во втором случае на шар действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила реакции доски. Поэтому сила натяжения компенсирует не только силу тяжести, но еще и силу реакции доски и, следовательно, должна вырасти по сравнению с первым случаем. Найдем, во сколько раз.
Условие равновесия шара во втором случае в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси дает
где - сила натяжения во втором случае, - угол между нитью и вертикалью во втором случае, - сила реакции доски. Отсюда находим
Косинус угла найдем геометрически. Из треугольника, образованного нитью, шаром и участком доски находим
Поэтому
и, следовательно
То есть при расположении доски вертикально сила натяжения вырастет в
Правильная сила натяжения веревки в случае отсутствия касания между шаром и доской
Правильное условие равновесия шара в случае вертикальной доски
Правильные тригонометрические функции угла между нитью и доской во втором случае
Правильный ответ