Переменная теплоемкость
( баллов): В легком калориметре находится г необычной жидкости, удельная теплоемкость которой зависит от температуры.
Эта зависимость представлена на графике. Температура жидкости равна . В калориметр опускают груз массой г из материала с удельной теплоемкостью с температурой . Найти температуру содержимого калориметра после установления равновесия. Теплоемкостью калориметра и теплообменом его содержимого с окружающей средой можно пренебречь. С какой точностью получен результат?
Возможное решение:
Из условия теплового баланса ясно, что количество теплоты , отданное остывающим грузом (здесь и - удельная теплоемкость и масса груза, - его начальная температура, - искомая температура), должно равняться количеству теплоты , поглощенному нагревающейся жидкостью. Для нагревания жидкости при очень маленьком изменении ее температуры (на ) требуется количество теплоты , где - это средняя температура на участке .
Нетрудно заметить, что для графика величина равна площади трапеции между участком графика и участком оси температур . Поэтому можно вычислить (см. рисунок) как площадь под графиком удельной теплоемкости на участке от начальной до конечной температуры жидкости, умноженную на массу жидкости.
Как видно, для нагрева жидкости от до температуры потребуется количество теплоты
что заметно меньше, чем выделится при остывании груза до . Аналогично можно убедиться, что для нагревания жидкости до потребуется большее количество теплоты, чем выделит груз в этом случае. Поэтому искомая температура находится на участке от до . Пусть . Уравнение прямой, описывающей поведение удельной теплоемкости на нужном участке, можно записать в виде
Уравнение теплового баланса для установления равновесия имеет вид:
После подстановки числовых значений для величины получаем квадратное уравнение
Положительный корень этого уравнения . Таким образом, . Сами вычисления являются точными (кроме последнего округления, вносящего ошибку менее ), поэтому неточность результата связана с использованием данных, извлеченных из графика. Изучение графика показывает, что ошибки в определении удельной теплоемкости в точках «излома» графика (а именно их мы использовали для составления уравнения) не превышают , в то время как среднее значение теплоемкости жидкости на нужном нам интервале чуть меньше . Поэтому вносимую ошибку можно оценить в . Ясно, что примерно такой же должна быть и ошибка в определении , и она примерно равна . Значит, .
Ответ: .
Примечание: Помимо вычисления количества теплоты через площадь, можно использовать и другие методы - например, аналогию между связью координаты и скорости при неравномерном движении по прямой и связью количества теплоты и переменной теплоемкостью . Тогда по аналогии с формулой изменения координаты при равноускоренном движении
можно записать формулу для количества теплоты при линейной зависимости теплоемкости от температуры:
Также допустимы другие способы оценки погрешности (например, интервальный метод). Однако при этом оценка погрешности возрастет.
Записано выражение, эквивалентное
Предложен корректный метод вычисления количества теплоты, полученного жидкостью (при линейной зависимости теплоемкости от температуры)
Установлено, что искомая температура находится на участке от до
Записана (используется в решении) правильная аналитическая формула для зависимости удельной теплоемкости от температуры на нужном участке
Получено правильное уравнение для искомой температуры, не содержащее неизвестных величин
Правильно найдена итоговая температура
Правильно оценена точность результата (ошибка результата указана в интервале от до )