Инженерная олимпиада 2022, 11 класс, задача 4
Собрана электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке. Цепь состоит из четырех амперметров, семи вольтметров и одного омметра (прибора для измерения сопротивлений). Известны показания вольтметра : В и амперметра : мкА. Найти сопротивление вольтметра и показания омметра . Все вольтметры одинаковы, сопротивления амперметров очень малы по сравнению с сопротивлениями вольтметров.
Источником тока в этой цепи является омметр, поскольку омметр - прибор для измерения сопротивлений - содержит источник тока. Омметр работает так: он подает электрическое напряжение на исследуемый резистор и измеряет силу тока, протекающего через резистор, и напряжение на этом резисторе. А потом по закону Ома вычисляет его сопротивление.
Далее. Поскольку сопротивления амперметров пренебрежимо малы, данная цепь эквивалентна цепи, показанной на рисунке, на котором вольтметры обозначены как обычные резисторы (цифры соответствуют индексу в обозначении вольтметра в условии задачи), а амперметры заменены идеальными проводниками.
На этом рисунке выделен резистор (вольтметр ), напряжение на котором (согласно условию) составляет В, и тот участок цепи (амперметр ), через который течет ток мкА. Таким образом, заданная цепь приближенно эквивалентна цепи, в которой источник тока замыкается через две ветви, причем сопротивление верхней ветви
в шестнадцать третьих раз больше сопротивления нижней ветви
а поскольку напряжения на верхней и нижней ветвях одинаковы, то токи через верхнюю и нижнюю ветви цепи связаны соотношением
С другой стороны. Пусть ток через вольтметр равен . Так как сопротивления всех вольтметров одинаковы, а напряжение на вольтметрах и такое же, как на вольтметре , через вольтметры и течет ток . Тогда
а через вольтметр течет ток
Такой же ток течет и через вольтметр (на вольтметрах и одинаковое напряжение). Поэтому
Из формулы для токов в ветвях получаем
Отсюда находим ток через вольтметр
и сопротивление вольтметра
Теперь можно найти токи через верхнюю и нижнюю ветви цепи
и ток через омметр
Напряжение на омметре можно найти, используя закон Ома для верхней или нижней ветви цепи:
Поэтому показания омметра равны
Правильное понимание того, где источник тока в данной цепи – 0,5 балла.
Правильная эквивалентная схема (для расчета токов и напряжений) с заменой амперметров идеальными проводниками – 0,5 балла.
Правильно найдено сопротивление вольтметра – 0,5 балла.
Правильно найдено показание омметра – 0,5 балла.