Ломоносов 2026, 7-9 классы, задача 2
Мальчик налил в высокий цилиндр две несмешивающиеся жидкости: внизу - воду, сверху - подсолнечное масло. У него есть елочная игрушка, представляющая собой полый пластиковый шарик объемом и массой c небольшим отверстием. Какую массу песка нужно насыпать внутрь шарика и потом герметично закрыть, чтобы шарик опустился сквозь масло и оказался в равновесии на границе раздела жидкостей - наполовину погрузившись в воду, наполовину оставшись в масле? Ответ выразите в граммах, массой пробки, герметично закрывающей отверстие, пренебрегите. Плотность воды , масла .
Ответ
Решение.
Тело находится в равновесии, следовательно, по условию равновесия векторная сумма всех сил равна нулю. Проекции на ось , направленную вертикально вверх, всех действующих на шар сил запишутся в виде:
где - масса шара, - масса песка, , - проекции сил Архимеда, действующих на части шара, погруженные в воду и масло, соответственно. По закону Архимеда они равны весу вытесненной жидкости:
где , - объёмы частей шара, находящихся в воде и масле соответственно:
Рассмотрим уравнение (1) с учётом (2), (3), (4):
Решая его, получим:
Ответ.