Покори Воробьевы горы 2023, Отбор, 10 класс, вопрос 2
( баллов):
одинаковых маленьких заряженных шариков с зарядом у каждого закреплены в вершинах правильного -угольника, у которого радиус описанной окружности равен . По тонкому диэлектрическому стержню длиной равномерно распределен заряд . Стержень размещен перпендикулярно плоскости, в которой находятся шарики, и один из его концов оказался точно в центре -угольника. Найдите величину силы, действующей на стержень со стороны электрического поля шариков. Ответ запишите в , с точностью до десятых, без указания единиц измерения.
Ответ: .
Комментарий: Направим ось вдоль стержня, совместив начало координат с началом стержня (и, естественно, с центром -угольника). Работа искомой силы над стержнем при малом перемещении его вдоль этой оси равна . Эта работа может быть вычислена как взятое со знаком «минус» изменение потенциальной энергии взаимодействия зарядов системы при таком перемещении. Очевидно, что с точки зрения изменения относительного положения зарядов это перемещение эквивалентно «отрезанию» от конца стержня, находящегося в центре многоугольника из зарядов, кусочка длиной с зарядом и переносу его на другой конец стержня. Поэтому
Впрочем, поскольку , то в рамках заданной точности последнее слагаемое в скобках несущественно, и можно пользоваться более простой формулой .