Робофест 2023, 9 класс, задача 3
Вопрос. В схеме из задачи сопротивления всех нагревательных элементов одинаково и равно . Сопротивление крайних реостатов всегда одинаково. Чему оно должно быть равно, чтобы сила тока в среднем реостате равнялась нулю?
Задача. В схеме, показанной на рисунке, использованы четыре одинаковых нагревателя и три реостата, сопротивления которых связаны: у крайних реостатов они всегда равны и растут одинаково при повороте управляющего рычажка, а у среднего оно отличается и убывает при том же повороте. При «среднем» положении этого рычажка мощность, потребляемая парой параллельно соединенных нагревателей, равна , а потребляемая парой последовательно соединенных — . Затем рычажок повернули, и мощности изменились: они стали равны и . Потом его повернули еще раз, увеличив сопротивление каждого из крайних реостатов на ту же величину, что и при первом повороте. Теперь оказалось, что . Найдите .
Ответ
Ответ на вопрос. При нулевой силе тока в среднем реостате сила тока в «верхнем» реостате равна силе тока через пару параллельно соединенных нагревательных элементов, а сила тока в «нижнем» реостате равна силе тока через пару последовательно соединенных нагревательных элементов. Кроме того, тогда напряжение на среднем реостате равно нулю, и напряжение на «верхнем» реостате равно напряжению на паре последовательно соединенных нагревательных элементов, а напряжение на «нижнем» реостате — напряжению на паре параллельно соединенных нагревательных элементов. Значит, сопротивление крайних реостатов удовлетворяют соотношению «баланса моста»:
Значит, для отсутствия тока в среднем реостате нужно, чтобы сопротивления крайних реостатов равнялись сопротивлению одного нагревательного элемента .
Примечание. Можно использовать условие баланса моста без доказательства.
Решение задачи. Обозначим — сопротивление каждого из нагревателей, — сопротивление одного из «крайних» реостатов при исходном положении управляющего рычажка, а — изменение сопротивления этих реостатов при каждом переключении. Тогда, вычисляя сумму напряжений по «верхнему берегу» нашего моста, получаем:
( — сила тока через пару параллельно соединенных нагревателей). Аналогично для «нижнего берега» запишем ( — сила тока через пару последовательно соединенных нагревателей):
Из этих соотношений находим связь сил токов:
Еще одну связь получаем из условия непрерывности общего тока
Комбинируя эти уравнения, обнаруживаем, что отношение сил токов через пары нагревателей зависит только от отношения сопротивления крайних реостатов и нагревателей:
Отношение мощностей потребления
Из данных для исходного положения рычажка:
После первого поворота рычажка
Значит, после второго поворота рычажка
и
Ответ. .