Росатом 2023, 11 класс, задача 4
С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс, график которого в координатах «давление-объем» приведен на рисунке. Известно, что процесс - - адиабатический, процесс - - изобарический, график процесса - получен отражением графика - относительно вертикальной прямой, проходящей через точку , и давление газа изменяется в два раза в течение всего процесса. Найти термодинамический КПД процесса. Указание. Давление и объем воздуха в адиабатическом процессе связаны соотношением .
Решение.
Рассмотрим сначала вспомогательную задачу и найдем термодинамический КПД процесса, представляющего «половину» заданного цикла: - - адиабата, - - изобара, - изохора.
Очевидно, в этом процессе газ получает тепло на изохоре -, отдает на изобаре -. Поэтому термодинамический КПД рассматриваемого процесса равен
где - количество теплоты, полученное газом от нагревателя в процессе -, - количество теплоты, отданное газом холодильнику в процессе -. Найдем эти количества.
Поскольку в процессе - газ не совершает работу, количество полученной газом теплоты равно изменению его внутренней энергии. С использованием закона Клапейрона-Менделеева найдем
где и - давление и объем газа в состоянии (в формуле (2) учтено, что давление газа меняется в раза в рассматриваемом процессе).
Процесс - - изобарический, поэтому количество теплоты отданное газом в этом процессе, составляет от работы, совершенной внешними силами над газом в этом процессе
где - объем газа в состоянии . Найдем его, используя уравнение адиабаты, данное в указании к условию. Имеем
Отсюда
В результате для количества теплоты, отданного газом холодильнику в процессе -, получаем
А из (1)-(3) - КПД вспомогательного процесса
Вернемся теперь к процессу, данному в условии. Очевидно, что его термодинамический КПД совпадает с термодинамическим КПД, рассмотренного выше вспомогательного процесса. Действительно, работа газа в процессе, данном в условии, в два раза больше работы газа в рассмотренном вспомогательном процессе (т.к. в два раза больше площадь цикла). Также в два раза отличаются и количества теплоты, отданные газом холодильнику в этих процессах. Это связано с тем, что в исследуемом процессе теплота отдается холодильнику только в изобарическом процессе -, а изменение объема газа в два раза больше изменения объема во вспомогательном процессе. Поэтому КПД исследуемого цикла есть
Использование правильного определения термодинамического КПД
Вычисление количеств теплоты, полученного от нагревателя и отданного холодильнику в «половинном» цикле
Правильное нахождение КПД «половинного» цикла
Доказательство, что КПД полного и «половинного» цикла совпадают
Правильный ответ