Росатом 2022, 11 класс, задача 5
Из гибкого диэлектрика изготовили длинный тонкостенный цилиндр радиуса и равномерно зарядили его положительным зарядом с поверхностной плотностью . Внутрь цилиндра перпендикулярно его оси вставили диэлектрическое колечко радиуса и массой , центр которого совпадает с осью цилиндра и которое заряжено положительным зарядом с линейной плотностью заряда . Цилиндр раскручивают до угловой скорости . Найти угловую скорость колечка.
Решение.
Заряды, распределенные по диэлектрику, будут двигаться по окружностям. Это приведет к возникновению внутри цилиндра магнитного поля. Это поле можно найти, используя аналогию между вращающимся заряженным цилиндром и током в соленоиде. Как известно, внутри соленоида, по которому течет ток , создается однородное магнитное поле, индукция которого направлена вдоль оси соленоида и равна по величине
где - число витков на единицу длины соленоида, - магнитная постоянная. Произведение в формуле (1) имеет смысл заряда, переносимого в единицу времени через единицу длины соленоида. При вращении заряженного с поверхностной плотностью заряда цилиндра через единицу длины в единицу времени переносится заряд . Поэтому индукция магнитного поля внутри цилиндра (когда его раскрутят до угловой скорости ) будет равна
При раскручивании цилиндра магнитное поле будет меняться, и внутри цилиндра возникнет вихревое электрическое поле, которое будет действовать на заряды колечка. А поскольку колечко диэлектрическое, движение этих зарядов приведет к движению самого колечка. Найдем силы, которые действуют на заряды колечка.
Благодаря осевой симметрии магнитного поля вихревое электрическое поле также будет обладать осевой симметрией - оно будет зависеть от расстояния до оси цилиндра и направлено по касательным к окружностям, охватывающим ось цилиндра. Работа вихревого поля над единичным зарядом при его движении по такой окружности есть ЭДС индукции. Поэтому по закону электромагнитной индукции имеем
где - напряженность вихревого электрического поля на расстоянии от оси цилиндра, скорость изменения индукции магнитного поля внутри цилиндра. Отсюда находим
На каждый элемент колечка с зарядом действует следующая сила
что дает следующее ускорение
Поскольку ускорения у всех элементов колечка будут одинаковы, таким же будет и ускорение всего колечка
Такое ускорение у колечка будет в течение всего времени раскручивания цилиндра. Умножая ускорение на малые элементы времени, на которые можно разделить время раскручивания цилиндра, можно найти изменение скорости колечка за это время, а складывая все эти изменения, скорость , которую приобретут точки колечка и его угловую скорость
Согласно правилу Ленца направление индукции собственного магнитного поля колечка должно быть пропорционально направлению магнитного поля цилиндра. А поскольку заряды цилиндра и колечка - одного знака, колечко будет вращаться в сторону, противоположную направлению вращения цилиндра.
Правильно найдена индукция магнитного поля внутри вращающегося цилиндра
Правильно найдена напряженность вихревого электрического поля в точках колечка
Правильно найдено ускорение, с которым раскручивается колечко в процессе раскручива- ния цилиндра
Правильный ответ для угловой скорости колечка