Росатом 2023, 11 класс, задача 5
Точечный положительный заряд удерживают на расстоянии от двух точечных зарядов и (), закрепленных на очень малом расстоянии друг от друга. Направление на заряд из середины отрезка, соединяющего заряды и , перпендикулярно этому отрезку (см. рисунок). В некоторый момент времени заряд отпускают. На каком расстоянии от середины отрезка, соединяющего заряды и заряд пересечет прямую, на которой лежат заряды и (прямая на рисунке)? Какую скорость он будет иметь в этот момент? Какое ускорение? Масса заряда . Указание. При решении может понадобиться приближенная формула: , справедливая для малых .
Решение.
Найдем сначала потенциальную энергию взаимодействия точечного заряда и двух близко расположенных зарядов и (такая система называется электрическим диполем). Пусть заряд находится на расстоянии от отрицательного заряда диполя, так, что угол между отрезком, соединяющем заряды и и направлением на заряд равен (см. рисунок).
Тогда, поскольку расстояние до положительного заряда будет на величину больше, чем , потенциальная энергия взаимодействия заряда и диполя равна
Пользуясь далее приближенной формулой, данной в указании к условию, получим
Используя эту формулу, докажем, что точечный заряд будет двигаться вокруг диполя по полуокружности радиуса с центром в центре диполя (см. рисунок). Для этого в любой точке этой полуокружности должно быть выполнено следующее условие - скорость заряда и радиальная составляющая силы, действующей на заряд со стороны диполя, связаны соотношением
Скорость заряда найдем по закону сохранения энергии. Имеем из (1)
Отсюда находим скорость заряда
Радиальную составляющую силы, действующей на заряд со стороны диполя, найдем с помощью закона Кулона. Пренебрегая слагаемым, содержащим по сравнению со слагаемым, содержащим , имеем
Используя теперь формулу указания к условию задачи, получим
Используя теперь скорость (3) и радиальную составляющую силы (4), видим, что для любого угла (в том числе и для , когда заряд только начинает двигаться) условие (2) выполнено. Это значит, что заряд движется по полуокружности радиуса с центром в середине диполя.
Скорость заряда в момент пересечения прямой, на которой лежат заряды и , найдем по закону сохранения энергии. Учитывая, что расстояние от заряда до диполя равно , получаем
Так как заряд движется по окружности радиуса , и в точке на прямой его скорость достигает максимума, то ее величина в этой точке практически не меняется. Поэтому ускорение заряда - центростремительное, которое равно
Правильное нахождение потенциальной энергии взаимодействия точечного заряда и диполя
Правильное нахождение скорости заряда как функции угла поворота и расстояния до диполя
Правильное нахождение радиальной составляющей силы, действующей на заряд со стороны диполя
Правильный вывод (с обоснованием) о движении заряда по окружности
Правильный ответ для скорости заряда в тот момент, когда он пересекает ось диполя