Росатом 2025, 11 класс, задача 5

Решение.

Докажем, что сила взаимодействия двух равномерно заряженных концентрических полусфер, плоскости оснований которых перпендикулярны друг другу, перпендикулярна основанию большой полусферы (как это показано на рисунке 1).

Действительно, пусть внутри равномерно заряженной сферы находится равномерно заряженная полусфера. Ясно, что сила их взаимодействия друг с другом будет равна нулю, поскольку все заряды меньшей полусферы находятся внутри большой сферы, которая не действует ни на какой точечный заряд, помещенный внутрь нее (рисунок 2).

А это значит, что силы, действующие на меньшую полусферу со стороны большой нижней и большой верхней полусфер равны по величине и противоположны по направлению. С другой стороны, две эти силы должны получаться друг из друга отражением относительно основания большой полусферы, поскольку две эти системы зарядов получаются друг из друга отражением относительно основания большой полусферы (см. рисунок 3). Но если бы эти силы были направлены под не прямым углом к этой плоскости, они не сложились бы в нуль. Отсюда и следует сделанное утверждение о направлении силы, действующей со стороны большой полусферы на малую.

А это значит, что если бы мы нашли силу взаимодействия большой полусферы радиуса с зарядом и сферы радиуса с зарядом , то искомая сила взаимодействия полусфер составляла ровно половину от силы (рисунок 3).

Найдем силу . Для этого заметим, что электрическое поле равномерно заряженной сферы снаружи от нее такое же, как поле точечного заряда, расположенное в ее центре. А это значит, что малая сфера радиуса , заряженная зарядом , действует на концентрическую полусферу радиуса с зарядом так же, как точечный заряд , расположенный в центре полусферы, действует на полусферу. Такой же (по третьему закону Ньютона) будет и сила, действующая со стороны полусферы на точечный заряд (см. рисунок 4).

Таким образом, вычисление силы сводится к вычислению силы взаимодействия полусферы и точечного заряда в ее центре. Эту силу можно вычислить так. Мысленно разобьем полусферу на малые площадки, найдем силу, действующую на точечный заряд со стороны каждой площадки, просуммируем векторы сил. При этом суммировать можно даже не векторы, а их проекции на ось симметрии задачи, поскольку благодаря ее симметрии сила может быть направлена только вдоль этой оси.

Со стороны площадки площадью на точечный заряд действует сила, проекция которой на ось симметрии равна

где - заряд площадки, - угол между вектором силы и осью симметрии, - постоянная закона Кулона, - радиус полусферы.

Поскольку угол между площадкой и прямой, параллельной основанию полусферы, равен углу между силой и осью симметрии, произведение есть проекция площади рассматриваемой площадки на основание полусферы. Поэтому суммирование сил дает

причем сумма равна площади основания полусферы - . В результате получим для силы взаимодействия точечного заряда и полусферы радиуса с зарядом

Отсюда получаем окончательно: сила, действующая со стороны полусферы радиуса , заряженной зарядом , на концентрическую полусферу радиуса с зарядом с перпендикулярной плоскостью основания направлена перпендикулярно основанию большой полусферы и равна по величине

В первом и третьем вариантах , поэтому ответ в них -

Во втором и четвертом вариантах , поэтому ответ в них -