Росатом 2024, 9 класс, задача 5
Лиса пытается поймать суслика, который перебегает из норки в норку , находящиеся на расстоянии друг от друга. Скорость лисы в раза меньше скорости суслика. При этом суслик дразнит лису. Он по вибрации почвы чувствует, где находится лиса, и стартует только в том случае, когда лиса не может поймать его. По возможности точно нарисуйте область, находясь в которой лиса сможет поймать суслика, обоснуйте ваше построение и определите площадь этой области.
Ответ
Решение.
Будем строить область, из которой лиса сможет догнать суслика, обратным образом. Пусть суслик бежит со своей скоростью из норки в норку , а из каждой точки его траектории со своими скоростями и во все стороны бегут лисы. И если лисы бегут в течение того времени, которое суслик бежал до рассматриваемой точки из норки , то их расположение определит границы области, из которой лиса сможет поймать суслика в рассматриваемой точке. Пересечение этих областей и определит всю область, из которой лиса сможет поймать суслика в какой-нибудь из точек его траектории.
Очевидно, все области, из которых лиса сможет поймать суслика в какой-либо точке, представляют собой окружности, радиус которых в раза меньше, чем расстояние от этой точки до точки . Действительно, пусть суслик двигался до некоторой точки (см. рисунок) в течение времени . Тогда та область, откуда лиса сможет поймать суслика в этой точке, представляет собой окружность с радиусом, в раза меньшим расстояния . А если до точки , суслик бежал вдвое дольше, чем до , то та область, откуда лиса может поймать суслика в точке - окружность с в вдвое большим радиусом, чем окружность с центром в точке . Построение нескольких таких окружностей выполнено на рисунке.
Докажем, что касательные ко всем этим окружностям образуют один и тот же угол с отрезком . Действительно, если провести радиусы каждой окружности в точку касания (, , на рисунке), то прямоугольные треугольники , , будут подобны, так как у всех у них катет в раза меньше гипотенузы (или у них одинаковый синус). Таким образом, область, из которой лиса сможет поймать суслика, ограничена частью угла и сектором окружности . Причем углы и таковы, что в прямоугольных треугольниках и катеты и трое меньше гипотенузы , т.е. равны , а . Так же равен радиус сектора .
Площадь той области, из которой лиса сможет поймать суслика находится как сумма площадей двух треугольников и и сектора . Поскольку эти треугольники прямоугольные с гипотенузой и одним из катетов , то второй их катет найдем по теореме Пифагора
а затем и их площадь
Поскольку площадь полной окружности с радиусом равна , то площадь сектора . с вырезанным из окружности углом равна
где угол (арксинус) должен быть задан в радианах. Отсюда находим площадь области, откуда лиса сможет догнать суслика