Покори Воробьевы горы 2023, 11 класс, задача 2
Вопрос: Диаграмма процесса над постоянным количеством идеального газа в координатах давление-объем имеет вид параболы. При каких условиях теплоемкость газа в этом процессе постоянна? Чему может равняться постоянная молярная теплоемкость, если газ - двухатомный?
Задача: Рабочее тело тепловой машины - постоянное количество двухатомного идеального газа, а его цикл в координатах давление-объем состоит из двух отрезков прямых и участка параболы
На каких участках цикла газ получает и отдает тепло? Найдите КПД цикла.
Ответ
Ответ на вопрос: Процессы над постоянным количеством идеального газа с постоянной теплоемкостью - политропические процессы в координатах описываются уравнением
Здесь и - молярные теплоемкости газа в изохорном и изобарном процессах, а - в данном процессе. Диаграмма такого процесса является параболой при :
и при :
Для двухатомного идеального газа это соответствует
Решение задачи: В первую очередь нужно определить, на каком из участков цикла газ получает и отдает тепло. Изохорное нагревание - процесс, когда тепло только подводится, а в изобарном сжатии - только отводится. Процесс, описываемый участком параболы, не относится ни к одному из двух случаев, разобранных в вопросе, так что это процесс с переменной теплоемкостью, и нам нужно определить ее знак. Для бесконечно малого участка этого процесса, в котором объем газа увеличивается на , изменение давления
Количество теплоты, получаемое газом на этом участке:
Нетрудно заметить, что при - это точка изменения направления теплообмена . Тепло подводится к рабочему телу в изохорном процессе и на параболическом участке слева от :
Ясно, что
а
Работа на участке :
Следовательно,
Полная работа рабочего тела в цикле
Поэтому
Ответ: газ получает тепло в изохорном процессе и на параболическом участке слева от , отдает тепло на параболическом участке справа от и в изобарном процессе; КПД цикла .