Покори Воробьевы горы 2025, 11 класс, задача 2
Вопрос: Тонкий стеклянный капилляр опустили в вертикальном положении одним концом в широкий резервуар с жидкостью, почти идеально смачивающей стекло. Уровень жидкости в капилляре оказался на выше, чем в остальной части резервуара. Потом точно такой же капилляр (и тоже вертикально) опустили в другой широкий резервуар, в котором находилась жидкость, практически полностью не смачивающая стекло. Коэффициент поверхностного натяжения у этой жидкости в раза больше, чем у первой, а плотность в раз больше. Что будет с уровнем жидкости в капилляре на этот раз?
Задача: Две вертикальные стеклянные пластины, составляющие малый двугранный угол , опущены в широкий резервуар с полностью смачивающую их жидкостью. Плотность жидкости , коэффициент поверхностного натяжения . Найдите высоту подъема жидкости между пластинами над уровнем в резервуаре в зависимости от расстояния от ребра двугранного угла. Считайте, что , но много меньше размеров пластин, и при этом сечение поверхности жидкости плоскостью, перпендикулярной биссектрисе двугранного угла, имеет форму дуги окружности.
Ответ на вопрос: В тонкой трубке («капилляре»), действие сил поверхностного натяжения приводит к смещению поверхности жидкости в капилляре по отношению к уровню ее в широкой части сосуда. Высоту подъема жидкости в капилляре можно найти из условия равновесия столба жидкости в капилляре. Например, для капилляра с сечением в виде круга радиуса :
В первом случае , и . Во втором , и теперь . Таким образом, во втором резервуаре уровень жидкости в капилляре будет на ниже, чем в остальной части резервуара.
Решение задачи: Пусть - профиль «средней линии» поверхности жидкости в «клиновидном» промежутке между пластинами. Так как угол при вершине клина мал, то радиус кривизны этой линии на расстоянии от ребра двугранного угла значительно больше радиуса кривизны в поперечном сечении, который примерно равен половине расстояния между пластинами (угол смачивания считаем равным нулю, и в соответствии с условием этом сечении профиль поверхности жидкости - половина окружности): . Следовательно, лапласовское давление
Таким образом, средняя линия поверхности жидкости в узком клиновидном зазоре близка к гиперболе. Важно понимать, что использованное нами приближение означает, что полученная формула справедлива при , то есть при .
Ответ: Зависимость высоты подъема жидкости между пластинами над уровнем в резервуаре в зависимости от расстояния от ребра двугранного угла при .
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
явно указано, что угол смачивания равен нулю
явно указано, что сечение поверхности жидкости плоскостью, перпендикулярной биссектрисе угла - полуокружность
явно указано, что
правильно записано условие баланса давлений под поверхностью жидкости
правильно найден радиус кривизны поверхности жидкости
использовано правильное выражение для лапласовского давления
получено правильное уравнение зависимости