Покори Воробьевы горы 2024, 11 класс, задача 2
Вопрос: Какую работу нужно совершить при адиабатическом сжатии одного моля кислорода с начальной температурой для увеличения его давления на ?
Задача: В цилиндрическом сосуде с гладкими теплоизолирующими вертикальными стенками под горизонтальным теплоизолирующим поршнем находится воздух. Изначально поршень находится в равновесии, и расстояние между нижней поверхностью поршня и дном сосуда равно . На поршень аккуратно поставили небольшую гирьку, и поршень начал опускаться. В тот момент, когда он достиг наинизшего положения на высоте над дном сосуда, гирьку так же аккуратно убрали. До какой максимальной высоты поднимется поршень после этого? Вязкостью воздуха можно пренебречь, воздух можно считать двухатомным идеальным газом, происходящие с ним процессы - квазиравновесными, а изменениями внешнего атмосферного давления можно пренебречь. Математическая подсказка: При и с ошибкой порядка справедлива приближенная формула .
Ответ
Ответ на вопрос: Так как изменение давления мало, работу можно вычислять в линейном приближении, то есть . При этом в адиабатическом процессе
Решение задачи: Пусть - сечение цилиндра, - масса поршня, - масса гирьки, - атмосферное давление. Начальное давление азота в сосуде
В процессе опускания поршня с высоты до высоты :
Если обозначить , то
С учетом уравнения адиабаты для двухатомного газа :
Так как , то
В процессе подъема поршня от высоты до высоты аналогично
Следовательно,
Если , то
Таким образом, .