Покори Воробьевы горы 2025, 10 класс, задача 2
Вопрос: Постоянное количество гелия сначала участвует в изохорном процессе -, в котором его давление увеличивается на от давления в точке , а затем в изотермическом процессе -, в котором давление уменьшается ровно на ту же величину. В процессе - к газу подводится количество теплоты . Какое количество теплоты подводится к газу в процессе -?
Задача: Допустим, что у нас есть серия тепловых машин, работающих по циклу, состоящему из двух изохор и двух изотерм (рабочее вещество у всех этих машин - один и тот же идеальный газ). Отметим, что у всех машин серии одинаково отношение количества теплоты, подводимого в процессе изохорного нагревания, к работе за цикл. У одной из машин, у которой максимальная температура в цикле в раза больше минимальной, КПД цикла равно . У другой машины это отношение равно . Найдите КПД ее цикла.
Ответ на вопрос: При изохорном нагревании работа не совершается, и подводимое тепло равно увеличению внутренней энергии. Поскольку гелий можно считать одноатомным идеальным газом, то , или . В изотермическом процессе внутренняя энергия гелия не изменяется, и подведенное тепло равно работе, которая может быть найдена как площадь криволинейной трапеции. Объем в этом процессе увеличивается во столько же раз , во сколько уменьшается давление и, если, учитывая относительную малость изменений, приблизить площадь криволинейной трапеции площадью обычной трапеции, то
Примечание: Можно было использовать формулу для вычисления работы в изотермическом процессе, но тогда ответ получается в форме
и аналогичную точность вычисления без калькулятора здесь обеспечить сложнее: например, если воспользоваться приближенной формулой , то получится . Точное значение . Поэтому ответ с логарифмом без вычисления или с «грубой» его оценкой (с ошибкой более ) оценивался в балла.
Решение задачи: В описанном цикле теплота подводится к рабочему телу в процессах изохорного нагревания (будем его считать процессом ) и изотермического расширения (процесс ). Значит, количество теплоты нагревателя . Заметим, что по условию для всех машин связан с полной работой в цикле: , где - неизвестная константа. С другой стороны, работа в этом цикле совершается только в изотермических процессах, и равно разности количеств тепла, подведенного в изотермическом расширении и отведенного в изотермическом сжатии. Но работа (и количество тепла) в изотермическом процессе прямо пропорциональна абсолютной температуре, и поэтому , где - отношение максимальной и минимальной температур. Таким образом, величина, обратная КПД
Подставляя в эту формулу известное значение, находим, что , то есть . Следовательно, для всех машин нашей серии . В частности, при получаем .
Ответ: .
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
указана (используется в решении) правильная классификация процессов в цикле по направлению теплообмена рабочего тела с окружающими телами
указано, что работа совершается только в изотермических процессах
используется правильная связь КПД цикла с двумя из трех величин , или
КПД ищется в виде функции от отношения температур с неизвестной константой
константа в зависимости КПД от определяется по известному значению КПД
в решении использована связь
получена правильная связь с и
получено правильное выражение для КПД через
получен правильный численный ответ