Покори Воробьевы горы 2026, 11 класс, задача 2
Вопрос: По какому закону изменяется с высотой давление воздуха в неподвижной атмосфере, если его температура не изменяется?
Задача: Метеозонд - это небольшой баллон, наполненный гелием, к которому прикреплен блок с измерительной аппаратурой. Оболочка баллона непроницаема для гелия, легкая, гибкая, но при этом практически нерастяжимая, так что объем накачанного баллона почти не изменяется при изменениях температуры содержимого. В безветренную погоду при установившемся «высотном профиле» температуры метеозонд долго удерживали у поверхности земли, а затем аккуратно отпустили, и он плавно поднялся вверх до высоты м, а потом стал опускаться. Показания датчиков температуры и высоты в одни и те же моменты времени внесены в таблицу.
| , C (C) | 18,0 | 17,5 | 17,0 | 16,5 | 16,0 | 15,5 | 15,1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| , м ( м) | 0,0 | 86,0 | 172,0 | 258,0 | 344,0 | 430,0 | 500,0 |
Спустя какое время после отпускания зонд приземлился? При вычислениях считайте, что молярная масса воздуха г/моль, ускорение свободного падения м/с, универсальная газовая постоянная Дж/(мольК), температура абсолютного нуля C, условия в атмосфере во время полета шара не изменялись.
Ответ на вопрос: Условие равновесия небольшой порции воздуха
вместе с уравнением Менделеева-Клапейрона приводит нас к уравнению
В случае постоянной температуры («изотермическая атмосфера») оно приводит к экспоненциальному закону изменения давления с высотой:
Решение задачи: По данным из таблицы видно, что температура воздуха в атмосфере во время полета зонда изменялась с высотой по закону, который с очень хорошей точностью можно считать линейным:
Условие равновесия небольшой порции воздуха
вместе с уравнением Менделеева-Клапейрона приводит нас к уравнению
из которого можно найти закон изменения давления воздуха с высотой:
Здесь . С другой стороны, после отпускания зонд движется под действием силы тяжести и силы Архимеда, действующей на баллон. Пусть - полная масса зонда (вместе с гелием и грузом - из условия ясно, что она постоянна). Поскольку после отпускания зонд начал подниматься, то для него сила Архимеда в приземном слое воздуха больше силы тяжести, поэтому запишем (где ). В процессе подъема
Здесь мы учли, что изменением объема баллона можно пренебречь. Поскольку относительное изменение абсолютной температуры за время полета мало (чуть-чуть более ), то можно с хорошей точностью использовать приближенную формулу
Тогда уравнение движение зонда во время полета сводится к уравнению гармонических колебаний:
и, если ввести обозначение
и записать , то . Поэтому закон изменения высоты с течением времени - гармонический:
С учетом начальных условий и приходим к уравнению
Как видно, максимальная высота подъема
Полет зонда занимает ровно один период «колебаний», и время возвращения
ОТВЕТ: Спустя время с.
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Указано (используется в решении), что температура изменялась с высотой по линейному закону (1 балл)
Корректно использовано условие механического равновесия атмосферы (2 балла)
Использовано условие постоянства объема зонда (1 балл)
Правильно найден закон изменения давления с высотой (3 балла)
Указано, что изменение силы Архимеда связано и изменением температуры содержимого зонда, которая примерно равна температуре окружающего воздуха ( балла)
Получен правильный закон изменения силы Архимеда с высотой (2 балла)
Уравнение движения приведено к виду уравнения гармонических колебаний (3 балла)
Явно найден правильный закон движения зонда (2 балла)
Получены правильные ответы (аналитический и численный) ( балла)