Покори Воробьевы горы 2026, 10 класс, задача 2
Вопрос: Чему равны теплоемкости идеального газа в изобарном и изохорном процессах?
Задача: Иногда для повышения КПД тепловых машин используют регенераторы - устройства, с помощью которых часть отдаваемого рабочим телом тепла возвращается к нему на других участках цикла. В качестве регенератора можно использовать «тепловой насос» (схема такой установки, в которой часть работы основного рабочего тела (РТ) идет на «перекачку» тепла от холодильника к РТ с помощью «вспомогательного» рабочего тела (РТ'), показана на рисунке слева). На рисунке справа показан цикл РТ (постоянного количества одноатомного идеального газа) в координатах «давление-объем». В этом цикле минимальная температура К, а максимальная температура К. Пунктиром показана изотерма, отвечающая некоторой температуре . Цикл РТ' выглядит точно так же, но с противоположным направлением обхода, и для него К, а К. Найдите КПД этой тепловой машины без регенератора и с включенным регенератором.
Ответ на вопрос: В изохорном процессе получаемое газом количество теплоты равно изменению внутренней энергии, которая для идеального газа связана только с его абсолютной температурой:
В этом выражении присутствует множитель (число степеней свободы молекулы газа), равное 3 для одноатомных газов, 5 для двухатомных, и 6 для многоатомных. Поэтому молярная теплоемкость идеального в изохорном процессе . В изобарном процессе количество теплоты увеличивается за счет работы газа, которая в этом процессе равна
Значит, молярная теплоемкость .
Решение задачи: Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, температуру «средней изотермы» можно вычислить двумя способами через максимальные и минимальные величины давления и объема в цикле:
Поэтому
Молярная теплоемкость одноатомного идеального газа в изохорном процессе , а в изобарном процессе , поэтому
С учетом формулы для получаем:
Отметим, что это выражение можно записать в виде
Аналогично
Здесь также существует аналогичный вид формулы:
В отсутствие регенератора найденные количества теплоты были бы теплотой нагревателя и теплотой холодильника, и КПД
При работе с регенератором для цикла РТ
При этом, поскольку цикл «вспомогательного» РТ' - точно такой же, то для него , причем выражается точно такой же формулой
Отметим также, что
Используя все эти соотношения, находим
ОТВЕТЫ: КПД этой машины без регенератора , а после включения регенератора .
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
Используется правильная схема вычисления КПД тепловой машины без регенератора ( балла)
Правильно учтено действие регенератора ( балла)
Используется правильная схема вычисления КПД тепловой машины с регенератором ( балла)
Правильно найдена температура «средней изотермы» ( балла)
Получен правильный численный ответ для КПД машины без регенератора ( балла)
Получено правильное значение для величины (или связанной с ней) ( балла)
Получен правильный численный ответ для КПД тепловой машины с регенератором ( балла)