Инженерная олимпиада 2024, 11 класс, задача 1
В водонагревателе вода медленно протекает между двумя коаксиальными металлическими цилиндрами с радиусами и , причем расстояние между цилиндрами много меньше их радиусов. К цилиндрам приложено постоянное электрическое напряжение (см. рисунок), в результате чего между цилиндрами течет электрический ток, нагревая воду. Плотность воды - , удельное сопротивление - , удельная теплоемкость - , скорость протекания воды - . Найти изменение температуры воды на единицу длины цилиндров. Теплопотери отсутствуют.
Решение.
Рассмотрим малый элемент длины цилиндров длиной . За некоторый малый интервал времени в этом элементе выделится количество теплоты
где - сопротивление рассматриваемого элемента, которое можно найти следующим образом. Если мысленно разрезать рассматриваемый элемент по образующей и развернуть (см. рисунок), мы получим две параллельные металлические пластинки практически одинаковой площади (т.к. разность радиусов цилиндров мала, в качестве здесь можно взять и , и , и какое-то их среднее), находящихся на расстоянии друг от друга.
Поэтому сопротивление рассматриваемого элемента есть
( - удельное сопротивление воды), и, следовательно, в нем выделяется количество теплоты
Поскольку теплопотери отсутствуют, то количество теплоты, которое выделяется в этом элементе, должно уноситься протекающей через него водой. За время в элемент втекает (и вытекает) масса воды
Поэтому если разность температур вытекающей и втекающей воды есть , то вода уносит из рассматриваемого элемента количество теплоты
Приравнивая теперь количество выделившейся и унесенной теплоты,
найдем изменение температуры воды на единицу длины цилиндров
Правильная идея решения: количество теплоты, выделившееся при протекании тока через воду, можно связать с изменением температуры этого элемента
Правильно определено сопротивление цилиндрического элемента воды малой длины
Правильно определена масса рассматриваемого элемента
Правильное уравнение теплового баланса
Правильный ответ