Обрыв на минимальной силе
Однородный брусок с высотой и квадратным основанием , где , затаскивают вверх по плоскости, наклоненной под углом к горизонту, с помощью легкой нити, которую натягивают с постоянной силой . Известно, что величина силы тяжести, действующей на брусок, равна , брусок ориентирован так, как показано на рисунке (то есть плоскость его сечения вертикальна и перпендикулярна наклонной плоскости), нить прикреплена к середине верхнего ребра бруска. Величина и направление силы выбраны так, чтобы брусок скользил плавно и всем основанием сохранял контакт с наклонной плоскостью, а сама величина силы была минимально возможной (при выполнении всех условий). Оказалось, что эта величина силы равна . В ходе подъема бруска нить оборвалась. С каким ускорением после этого будет двигаться брусок? Силами сопротивления воздуха пренебречь, ускорение свободного падения считайте примерно равным . Опыт повторяют еще раз — на этот раз берут брусок с той же массой и тем же коэффициентом трения о наклонную плоскость, но имеющий форму кубика . Можно ли будет выполнить те же условия, прикладывая такую же силу ? Ответ объясните.
Возможное решение:
В первую очередь определим направление нити, то есть величину угла между этим направлением и наклонной плоскостью. Поскольку брусок скользит плавно, то сумма приложенных к нему сил (сила тяжести, сила нормальной реакции поверхности, сила трения скольжения и сила натяжения нити) равна нулю. Запишем условие баланса сил в проекциях на оси и (см. рисунок) и выразим из них величину силы натяжения нити:
Если ввести угол , то это выражение можно записать в виде
из которого очевидно, что минимум силы натяжения достигается при . Значит, сила, с которой при перемещении бруска тянут за нить,
Для заданного значения
Таким образом, мы можем определить величину коэффициента трения:
При этом . После обрыва нити ускорение бруска определяется силами тяжести и трения:
Теперь разберемся, как влияет на возможность изучаемого движения соотношение высоты бруска и стороны основания . По условию в процессе подъема брусок всем основанием сохранял контакт с плоскостью — то есть брусок не вращался. Значит, сумма моментов всех приложенных к нему сил равна нулю. Можно считать, что суммарная сила реакции поверхности приложена в некоторой точке на площади опоры бруска. Пусть — расстояние от середины нижнего горизонтального ребра бруска (точка ) до этой точки приложения сил реакции. Из геометрии можно заметить, что плечо силы тяжести относительно точки равно
а плечо силы натяжения нити
Таким образом, именно условие баланса моментов позволяет определить :
При некоторых значениях параметров системы может оказаться, что такое значение не соответствует ни одной точке площади опоры бруска (то есть описанное в условии движение невозможно). Но в нашем случае нетрудно проверить, что при описанное движение возможно. Ясно, что случай кубика — это тот же самый случай.
Ответы: После обрыва нити брусок будет двигаться с ускорением . Описанное в условии движение бруска-кубика возможно.
Правильно определена величина ускорения после обрыва нити
Правильно записано условие баланса сил
Найдено правильное выражение для силы натяжения как функции угла и
Получено правильное выражение для минимального значения силы натяжения как функции
Правильно определено значение
Правильно найдена величина ускорения соскальзывания бруска в диапазоне от до
Проведен правильный анализ возможности описанного движения
Объяснена связь положения точки приложения силы реакции в площади опоры бруска с моментами внешних сил
Правильно записано условие баланса моментов сил
Сделан обоснованный вывод о возможности описанного движения при