ВсОШ 2025, Муницип, 10 класс, задачи 6–8
Мальчик решил сделать игрушечный плот с мачтой. Для этого он взял квадратную пластинку пенопласта со стороной и толщиной и тонкую однородную палочку той же длины . Силами поверхностного натяжения в задаче пренебрегите.
1. При какой максимальной массе мачты плот не тонет в воде? Мачту плота при этом поддерживают горизонтальными силами в вертикальном положении. Массой пенопласта при расчётах пренебрегите. Плотность воды примите равной . Дайте ответ в граммах с округлением до десятых долей.
2. Мальчик сделал мачту той же длины, но массой в два раза меньше максимальной, и решил проверить свой плот на устойчивость. Для этого он двумя палочками прикладывал пару горизонтальных сил к основанию и к верхней точке мачты (см. рис.). Рассчитайте величину каждой из сил , которые необходимо прикладывать к мачте, чтобы один из краёв основания плота сравнялся с уровнем воды. Примите ускорение свободного падения равным . Дайте ответ в миллиньютонах с округлением до целого числа.
3. Рассчитайте, на какой максимальный угол можно отклонить плот, прикладывая к мачте пару горизонтально направленных сил, чтобы после того, как его отпустили, плот вернулся в исходное состояние. Длина мачты равна , её масса в два раза меньше максимальной. Дайте ответ в градусах с округлением до целого числа.
При расчётах используйте, что . Ось вращения направлена вдоль средней линии квадратного основания плота.
Ответ.
1. .
2. .
3. –.
Решение.
1. При максимальной массе мачты плот полностью уйдёт под воду. В этом случае сила тяжести должна уравновешивать максимально возможную силу Архимеда:
Отсюда максимальная масса мачты:
2. При выбранной массе мачты основание будет погружено под воду наполовину. При отклонении мачты от вертикального положения на небольшой угол так, что один из краёв плота сравняется с уровнем воды, этот уровень будет делить боковую сторону основания плота по её диагонали на два треугольника. Сила Архимеда, действующая на погружённую в воду часть плота, будет приложена в её центре масс. Проекция этой силы на плоскость рисунка находится в точке пересечения медиан прямоугольного треугольника с катетами и , то есть на расстоянии от центра основания плота. Тогда момент приложенной к мачте пары сил должен уравновешивать суммарный момент, создаваемый силой тяжести и силой Архимеда:
Отсюда величина сил равна
3. Плот вернётся в исходное положение, если суммарный момент силы тяжести и силы Архимеда будет возвращающим. При критическом угле отклонения возвращающий момент обращается в ноль, и линии действия силы тяжести и силы Архимеда совпадают.
Тогда для критического угла отклонения можно записать:
Максимальный балл за задачу