Загогулина
Изогнутая в трех местах металлическая трубка состоит из четырех прямых параллельных участков: трех — одинаковой длины и четвертого, длина которого существенно больше (см. рисунок). Длина изогнутых участков трубки мала по сравнению с , их объемом можно пренебречь. Площадь внутреннего сечения трубки , поперечные размеры трубки также много меньше . Трубка установлена вертикально открытыми концами вверх. В самое длинное колено начинают медленно наливать воду. Плотность воды — , атмосферное давление — .
Вода постепенно заполнит всю трубку. Найдите объем воды , который необходимо налить в трубку, чтобы достичь этого состояния.
Решение.
После заполнения водой второго слева вертикального участка вода начнёт стекать в третье колено, заполнит перемычку внизу между третьим и четвёртым и «отсечёт» воздух в третьем колене от атмосферного. Образуется воздушная «пробка», давление внутри которой по мере заполнения четвёртого колена будет возрастать.
Запишем условия равновесия (равенства давлений) для первого и второго вертикальных участков трубки:
Для третьего и четвёртого участков:
Вычитая эти уравнения, получим
Поскольку воздух внутри трубки сжат медленно, можно считать его температуру постоянной. Из уравнения Менделеева-Клапейрона для воздушной пробки:
Отсюда
Подставим это в уравнение (1):
Избавимся от знаменателя в правой части и перегруппируем:
Обозначая , получаем квадратное уравнение для . Оставляя только имеющий физический смысл положительный корень, находим .
Объём налитой воды можно определить по суммарной длине трубки, занятой водой:
В решении присутствует явное утверждение о наличии воздушной пробки в трубке.
Записаны условия равновесия для вертикальных участков трубки.
Применено уравнение Менделеева-Клапейрона для воздуха в воздушной пробке.
Получено уравнение, позволяющее определить или .
Получено выражение для .
Записано выражение для общей длины водяного столба в трубке.
Получен ответ для объёма воды в трубке.