а) Решим задачу в несколько более общем виде, чем это представлено в задании. От участников это не требовалось. Обозначим время на работе и дома как t_h и t_w соответственно. Тогда ограничение, с которым сталкивается одинокий человек, можно записать как T=t_h+t_w. Уютность в доме определяется как D=bt_h, где b>0. Величина потребления C зависит от зарплаты и часов работы: C=w*t_w=w*(T-t_h). Значит, мы можем записать удовлетворение от жизни U=C*D=w*(T-t_h)*bt_h. Заметим, что удовлетворение от жизни представляет собой параболу с ветвями вниз относительно t_h, поэтому чтобы максимизировать удовлетворение от жизни нужно найти вершину параболы. Значит, оптимальное время дома t_h^*=T/2 t_h=T/2. Тогда время на работе t_w^*=T/2. Подсчитаем уютность в доме D=bt_h^*=b*T/2 и потребление C=wt_w^*=w*T/2. Подставим параметры из условия, получим t_h^*=t_w^*=50, D=250, C=50.

б) Воспользуемся расчётами из предыдущего пункта. Получим t_h=t_w=50 t_h^*=t_w^*=50, D=250, C=100. Заметим, что изменилось только потребление. Повышение заработной платы позволило человеку больше потреблять, но распределение времени между временем дома и на работе не изменилось. Так получилось, потому что по мере повышения потребления то же количество досуга приносит больше удовольствия, и наоборот.

в) При любом w>0 супругам выгодно вступить в брак. До брака удовлетворение от жизни у каждого из них не превышало U^*=bwT^2/4, где b=5. Если после брака супруги не изменят распределение времени между работой и домом, они получат U^{брак}=10wT^/4>U^*, что делает вступление в брак выгодным.

г) Ответ не изменится. Важная особенность задачи — это то, что проведённое время дома приносит супругам больше удовлетворения после вступления в брак. До этого супруг с зарплатой w получал удовольствие не более U^*=bwT^2/4, где b=5, проводя дома T/2 часов. После вступления в брак, проводя столько же времени дома и договорившись с супругой он будет получать U{брак}=10wT^2/4>U^*.

д) Брак выгоден при a>5 a=5, а приa=5 супругам безразлично, вступать в брак или нет. При a<5 вступление в брак не будет выгодным для супругов. Заметим, что оптимальное распределение времени между работой и домом не изменится. Поэтому после вступления в брак удовлетворение от жизни U{брак}=awT^2/4. Ясно, что U{брак}=awT^2/4>U^* тогда и только тогда, когда a>b, где b=5. Результат довольно интуитивный — если дома после брака стало приятнее, то брак того стоит, а если наоборот, то брак — сомнительная затея.

Примечание:

Конкурсанты могут задуматься о том, что не учитывает предложенная простая модель. Например, модель не учитывает тот факт, что карьерные возможности и зарплата зависят от того, насколько много человек готов работать.

Каждый пункт оценивается максимально в 4 балла.