Задание 15. МЭ ВСоШ 2024 (10 класс)
Компания «Поход» – монополист на рынке рюкзаков, спрос на её рюкзаки описывается функцией P=40-x, где P – цена рюкзака, а x – количество проданных рюкзаков. В свою очередь компания «Поход» является единственным покупателем особой непромокаемой ткани для рюкзаков у компании «Брезент», которая также является единственной на рынке компанией. Сначала «Брезент» устанавливает цену на свою ткань, а потом продаёт компании «Поход» любой объём ткани, который она будет готова приобрести. Издержки на производство компании «Брезент» описываются функцией TC(y)=2y, где y – количество произведённых метров ткани. Компании «Поход» необходимо 4 метра ткани для производства одного рюкзака. Обе компании максимизируют свою прибыль. По какой цене за 1 метр ткани «Поход» будет закупать продукцию у компании «Брезент»?
Ответ: 6.
Решение:
Пусть p – цена метра ткани.
Найдём спрос «Похода» на ткань «Брезента».
Прибыль компании «Поход» в зависимости от количества проданных рюкзаков:
PR=(40-x)*x-4px=(40-4p)*x-x^2
Парабола, ветви вниз, максимум в вершине
x=\frac{40-4p}{2}=20-2p
Тогда «Поход» будет закупать 4x метров ткани, спрос y=4x=80-8p
p=10-y/8
Прибыль компании «Поход»:
PR = \left( 10 - \frac{y}{8} \right) y - 2y = 8y - \frac{y^2}{8}
y = \frac{8}{1/4} = 32
Тогда цена продажи ткани: p=10-y/8=10-4=6
За верный ответ – 8 баллов.