Задание 3.4 Олимпиада Колокольникова 2026 (8 класс)
Игорь решил открыть свое производство антисептиков. Для этого он арендовал помещение и заплатил за него 700 \ 000 рублей. Чтобы продавать товар, ему нужна лицензия, стоимость которой составляет 300 \ 000 рублей. В ситуации, если он решает ничего не продавать, покупка лицензии не обязательна. Игорь продает товар на рынке совершенной конкуренции в краткосрочном периоде, на котором установилась цена P=500 рублей за одну упаковку антисептика. Переменные издержки производства равны VC=Q^2+200Q, где Q — количество упаковок антисептиков. Какое количество упаковок антисептиков произведет Игорь, если он максимизирует свою прибыль?
( 3 балла)
Комментарий.
Запишем функцию издержек в этой задаче:
TC(Q)= \begin{cases} 700\,000, & Q=0,\\ 1\,000\,000 + Q^2 + 200Q, & Q>0. \end{cases}
Игорь продает товар на рынке совершенной конкуренции, а значит, у него купят любое количество товара по равновесной цене.
Его функция выручки имеет вид TR=500Q.
Найдем максимум прибыли при условии, что Q>0 :
\pi = TR - TC = 500Q - (1\,000\,000 + Q^2 + 200Q) = 300Q - Q^2 - 1\,000\,000.
Графиком функции является парабола ветвями вниз, значит, максимум прибыли достигается в вершине, при Q = \frac{-300}{-2} = 150.
\pi(150) = 300 \cdot 150 - 150 \cdot 150 - 1\,000\,000 = -977\,500 < -700\,000 = \pi(0).
Значит, Игорь произведет 0 антисептиков.