Задание 3.1 Олимпиада Колокольникова 2026 (8 класс)
Производственная функция фирмы описывается уравнением Q=K^2+L^2, где L — труд, K — капитал. Стоимость труда w=1, а стоимость капитала r=2. Фирма стремится производить максимальное количество товара. Найдите, на сколько единиц увеличится общий объем выпуска (Q), если бюджет фирмы увеличится с 3 до 6.
( 3 балла)
Комментарий.
Запишем бюджетное ограничение фирмы при условии, что бюджет расходуется полностью I=w*L+r*K.
Найдем максимальный объем выпуска при бюджете равном 3 :
3=L+2K, значит L=3-2K и Q=K^2+(3-2K)^2=5K^2-12K+9. Графиком функции является парабола ветвями вверх, значит, максимум достигается в точке, наиболее удаленной от вершины K^*=12/10=1,2. Исходя из бюджетного ограничения 1,5\geq K\geq 0, максимальный объем выпуска достигается при K=0 и L=3=>Q=9.
Найдем максимальный объем выпуска при бюджете равном 6 :
6=L+2K, значит L=6-2K и Q=K^2+(6-2K)^2=5K^2-24K+36 — графиком функции является парабола ветвями вверх, значит, максимум достигается в точке, наиболее удаленной от вершины K^*=24/10=2,4. Исходя из бюджетного ограничения 3\geq K\geq 0, максимальный объем выпуска достигается при K=0 и L=6, =>Q=36.
При увеличении бюджета с 3 до 6 максимальный объем выпуска увеличивается на 27.