Обозначим потребление сегодня за x_0 и y_0, а потребление завтра за x_1 и y_1.

Есть три варианта потребления в первый год:

1) \ x_0<y_0 \quad 2) \ x_0=y_0 \quad 3) \ x_0> y_0

1) Покажем, что способ x_0>y_0 - неэффективен при коэффициентах k=5, \ t=4 и ценах P_x=12, \ P_y=8. Полезность в этом случае будет равна: U_0=5x_0+4y_0. Полезность возрастает по обеим переменным, значит, мы используем весь бюджет и y_0=(120-12x_0)/8. Тогда U_0=5x_0+60-6x_0=60-x_0<54, так как x_0>y_0=>x_0>6 (иначе использован не весь бюджет).

Возьмем x_0^*=y_0^*=6, тогда полезность будет равна U_0=5*6+4*6=54.

Таким образом, потребление x_0>y_0 не оптимально.

2) В случае x_0=y_0 имеем x_0=y_0=6, а во втором периоде для максимизации полезности мы выберем y_1=15 (согласно пункту a), так как k, \ t, \ P_x, \ P_y остались неизменными. Тогда U_0=6*5+6*4=54, \quad U_1=15*4=60, \quad U=U_0+U_1=114.

3) В случае x_0<y_0 :

Рассмотрим функцию спроса на x после изменения коэффициента t. Бюджетное ограничение осталось прежним: 120=12*x_1+8y_1. Значит, y_1=(120-12*x_1)/8.

Функция полезности:

U = 5 \cdot x_1 + (4 - y_0/6)y_1 = 5x_1 + (4 - y_0/6) \cdot \frac{120 - 12 \cdot x_1}{8} \\ = 5x_1 + 60 - 6x_1 - 2.5y_0 + \frac{y_0 \cdot x_1}{4} = 60 - 2.5y_0 + x_1\left(\frac{y_0}{4} - 1\right)

Заметим, что если y_0/4-1>0, то полезность возрастает при увеличении x.

Значит, спрос равен:

\begin{cases} x_1 = 10 & \text{при } y_0 > 4 \\ x_1 - \text{любой} & \text{при } y_0 = 4 \\ x_1 = 0 & \text{при } y_0 < 4 \end{cases}

Условие y_0>x_0, означает, что y_0>6, а, значит, спрос на x_1=10 и U_1=50. U_0 максимальна при y_0=15 и x_0=0 (по пункту а) и равна 60, значит, U<=50+60=114.

При x_0=y_0 полезность равна 114, значит, это и будет оптимальным вариантом, тогда помещик выберет вариант x_0=y_0=6 и x_1=0, \ y_1=15, \ U=114.

Ответ: x_0=y_0=6 и x_1=0; \ y_1=15.