Живём не одним днём! Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (8 класс)
Помещик Боголепов — порядочный гражданин, он каждый день ходит на свою работу и зарабатывает золотых, которые тратит в тот же день. Ровно в часов вечера он заходит в местную харчевню и выбирает, что он будет сегодня есть: борщ или каравай. Его полезность задается функцией , где — количество потребленных борщей, — количество потребленных караваев, а и — некоторые коэффициенты.
а) ( балла) Пусть . Выведите спрос помещика Боголепова на борщи в зависимости от цены борща , если цена на караваи . Какое количество каждого из блюд он будет потреблять, если цена одного борща равна ?
Запишем бюджетное ограничение .
Подставим в функцию полезности.
.
Если , то нам выгодно производить как можно больше , тогда , а . Если , то нам выгодно производить как можно больше , и будет , а . То есть спрос можно задать системой:
При .
Ответ: .
б) ( баллов) Коэффициенты и непостоянны и могут изменяться. Если Боголепов потребил борщей больше, чем караваев, то на следующий день будет равняться ; если же он потребил караваев больше, чем борщей, то изменится и станет равным , где и это потребление помещика в первый день. Если он потребит борщей и караваев одинаковое количество, то коэффициенты и останутся неизменными. Выяснив эти зависимости экспериментальным путем, помещик решил узнать, какую максимальную полезность он сможет получить суммарно за сегодня и завтра. Какое количество каждого товара потребит мудрый Боголепов в каждый из дней, если на начало первого дня ?
Обозначим потребление сегодня за и , а потребление завтра за и .
Есть три варианта потребления в первый год:
Покажем, что способ - неэффективен при коэффициентах и ценах . Полезность в этом случае будет равна: . Полезность возрастает по обеим переменным, значит, мы используем весь бюджет и . Тогда , так как (иначе использован не весь бюджет).
Возьмем , тогда полезность будет равна .
Таким образом, потребление не оптимально.
В случае имеем , а во втором периоде для максимизации полезности мы выберем (согласно пункту a), так как остались неизменными. Тогда .
В случае :
Рассмотрим функцию спроса на после изменения коэффициента . Бюджетное ограничение осталось прежним: . Значит, .
Функция полезности:
Заметим, что если , то полезность возрастает при увеличении .
Значит, спрос равен:
Условие , означает, что , а, значит, спрос на и . максимальна при и (по пункту а) и равна , значит, .
При полезность равна , значит, это и будет оптимальным вариантом, тогда помещик выберет вариант и .
Ответ: и .
в) ( балла) Приведите одну причину, из-за чего и могут так меняться со временем.
Можно выделить две основные причины:
желание дифференциации своего потребления. Одна и та же пища довольно быстро приедается;
экономическая теория подсказывает, что предельная полезность от потребления зачастую убывает, а значит, корректирующие коэффициенты и должны уменьшаться.