Живём не одним днём! Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (8 класс)
Помещик Боголепов — порядочный гражданин, он каждый день ходит на свою работу и зарабатывает I=120 золотых, которые тратит в тот же день. Ровно в 6 часов вечера он заходит в местную харчевню и выбирает, что он будет сегодня есть: борщ или каравай. Его полезность задается функцией U=kx+ty, где x — количество потребленных борщей, y — количество потребленных караваев, а k и t — некоторые коэффициенты.
а) ( 2 балла) Пусть k=5, \ t=4. Выведите спрос помещика Боголепова на борщи в зависимости от цены борща P_x, если цена на караваи P_y. Какое количество каждого из блюд он будет потреблять, если цена одного борща равна P_x=12 ?
Запишем бюджетное ограничение I \, = \, P_y \cdot y + P_x \cdot x \Rightarrow \, x \, = \, \frac{120 - 8y}{P_x}.
Подставим в функцию полезности.
U = 4y + 5 \cdot \frac{120 - 8y}{P_x} = \frac{600}{P_x} + \frac{4P_x - 40}{P_x} y \to \max.
Если 4P_x-40\geq 0, то нам выгодно производить как можно больше y, тогда x=0, а y=15. Если 4P_x-40<0, то нам выгодно производить как можно больше x, и будет y=0, а x=120/P_x. То есть спрос можно задать системой:
\begin{cases} \frac{120}{P_x}, & P_x < 10 \\ x = 0, & P_x \geq 10 \end{cases}
При P_x=12: \ x=0, \ y=15.
Ответ: x=0, \ y=15.
б) ( 8 баллов) Коэффициенты k и t непостоянны и могут изменяться. Если Боголепов потребил борщей больше, чем караваев, то на следующий день k будет равняться 5-x/4 ; если же он потребил караваев больше, чем борщей, то изменится t и станет равным 4-y/6, где x и y это потребление помещика в первый день. Если он потребит борщей и караваев одинаковое количество, то коэффициенты k и t останутся неизменными. Выяснив эти зависимости экспериментальным путем, помещик решил узнать, какую максимальную полезность он сможет получить суммарно за сегодня и завтра. Какое количество каждого товара потребит мудрый Боголепов в каждый из дней, если на начало первого дня k=5, \ t=4 ?
Обозначим потребление сегодня за x_0 и y_0, а потребление завтра за x_1 и y_1.
Есть три варианта потребления в первый год:
1) \ x_0<y_0 \quad 2) \ x_0=y_0 \quad 3) \ x_0> y_0
1) Покажем, что способ x_0>y_0 - неэффективен при коэффициентах k=5, \ t=4 и ценах P_x=12, \ P_y=8. Полезность в этом случае будет равна: U_0=5x_0+4y_0. Полезность возрастает по обеим переменным, значит, мы используем весь бюджет и y_0=(120-12x_0)/8. Тогда U_0=5x_0+60-6x_0=60-x_0<54, так как x_0>y_0=>x_0>6 (иначе использован не весь бюджет).
Возьмем x_0^*=y_0^*=6, тогда полезность будет равна U_0=5*6+4*6=54.
Таким образом, потребление x_0>y_0 не оптимально.
2) В случае x_0=y_0 имеем x_0=y_0=6, а во втором периоде для максимизации полезности мы выберем y_1=15 (согласно пункту a), так как k, \ t, \ P_x, \ P_y остались неизменными. Тогда U_0=6*5+6*4=54, \quad U_1=15*4=60, \quad U=U_0+U_1=114.
3) В случае x_0<y_0 :
Рассмотрим функцию спроса на x после изменения коэффициента t. Бюджетное ограничение осталось прежним: 120=12*x_1+8y_1. Значит, y_1=(120-12*x_1)/8.
Функция полезности:
U = 5 \cdot x_1 + (4 - y_0/6)y_1 = 5x_1 + (4 - y_0/6) \cdot \frac{120 - 12 \cdot x_1}{8} \\ = 5x_1 + 60 - 6x_1 - 2.5y_0 + \frac{y_0 \cdot x_1}{4} = 60 - 2.5y_0 + x_1\left(\frac{y_0}{4} - 1\right)
Заметим, что если y_0/4-1>0, то полезность возрастает при увеличении x.
Значит, спрос равен:
\begin{cases} x_1 = 10 & \text{при } y_0 > 4 \\ x_1 - \text{любой} & \text{при } y_0 = 4 \\ x_1 = 0 & \text{при } y_0 < 4 \end{cases}
Условие y_0>x_0, означает, что y_0>6, а, значит, спрос на x_1=10 и U_1=50. U_0 максимальна при y_0=15 и x_0=0 (по пункту а) и равна 60, значит, U<=50+60=114.
При x_0=y_0 полезность равна 114, значит, это и будет оптимальным вариантом, тогда помещик выберет вариант x_0=y_0=6 и x_1=0, \ y_1=15, \ U=114.
Ответ: x_0=y_0=6 и x_1=0; \ y_1=15.
в) ( 2 балла) Приведите одну причину, из-за чего k и t могут так меняться со временем.
Можно выделить две основные причины:
1) желание дифференциации своего потребления. Одна и та же пища довольно быстро приедается;
2) экономическая теория подсказывает, что предельная полезность от потребления зачастую убывает, а значит, корректирующие коэффициенты k и t должны уменьшаться.