S054
Однажды Робинзон Крузо, не подумав о последствиях, рассказал Пятнице о том, как функционирует капиталистическая экономика. После этого Пятница заявил, что отныне будет работать только за деньги, желательно американские доллары. Если верить Пятнице, его функция полезности имеет вид: U=XY^w, где X – число часов в сутки, свободных от работы, Y – число часов работы в сутки, w – почасовая заработная плата. При этом величины X и Y Пятница выбирает сам, а величина w является экзогенной, поскольку задается рынком труда (в данном случае – Робинзоном) и от Пятницы не зависит. Робинзон решил использовать Пятницу в качестве наемного работника на заготовке тропических бабочек для последующей продажи энтомологам и коллекционерам по $ 3 за штуку. Пятница в среднем ловит одну бабочку в час.
Предположим, Робинзон максимизирует дневную прибыль. Какую почасовую оплату (w) он установит для Пятницы? Сколько часов в день (Y) Пятница будет работать?
Используя функцию полезности Пятницы, сформулируем его функцию предложения труда. Очевидно, X + Y = 24.\quad X=24-Y \quad U=(24-Y)Y^w
U_{max} достигается при условии: U'=-Y^w+w(24-Y)Y^w-1=0. \quad -Y+24w-Y^w=0.
Функция предложения труда со стороны Пятницы: Y=\frac{24w}{w+1}.
Дневная прибыль Робинзона: \pi = 3Y - wY = \frac{24w}{w + 1} \cdot (3 - w) = \frac{72w - 24w^2}{w + 1}.
Максимум прибыли достигается при условии: \pi' = \frac{(72 - 48w)(w + 1) - (72w - 24w^2)}{(w + 1)^2} = 0.\quad 72w + 72 - 48w^2 - 48w - 72w + 24w^2 = 0.
w^2+2w-3=0. \quad w_1=1, \ w_2=-3 (не подходит по условиям задачи). Y = \frac{24w}{w+1} = \frac{24}{2} = 12.
Ответ. w=1, \quad Y=12.