Задание 8-10. МЭ ВСоШ 2024 (11 класс)
Разработчик компьютерных игр AB выпускает на рынок новый продукт W.
Целевая аудитория продукта W состоит из трёх сегментов:
1. 300 тысяч «фанатов», которые приобретут продукт W при любой цене до 500 долларов включительно.
2. 1500 тысяч «активных игроков», совокупный спрос которых на продукт W зависит только от его цены и выражается функцией Q_d=1 \ 500 \ 000-5000P, где P – цена продукта W в долларах.
3. Неограниченное число «новых игроков», которые готовы приобретать продукт W, если он наберёт значительную популярность. Совокупный спрос «новых игроков» на продукт W зависит от его цены и от количества игроков, которые до этого приобрели продукт, и выражается функцией Q_d=(n-1 \ 000 \ 000)-3000P, где n – количество «фанатов» и «активных игроков», которые приобрели продукт W, n\geq 1 \ 000 \ 000.
Разработчик AB не имеет возможности дискриминировать своих покупателей, иначе говоря, может назначить лишь одну цену на продукт W.
1) Определите максимум выручки, если разработчик назначил такую цену, что продукт покупают только «фанаты». Ответ дайте в млн долларов.
Ответ: 150.
Решение:
«Активные игроки» приобретают продукт при цене от 0 до 1 \ 500 \ 000/5000=300.
Для того чтобы «новые игроки» начали присоединяться к продукту, по крайней мере 700 \ 000 «активных игроков» должны приобрести продукт (поскольку «фанаты» точно приобретут, а для входа «новых игроков» нужно набрать не менее 1 миллиона игроков в первых двух группах). Это случится при цене от 0 до \frac{1 \ 500 \ 000-700 \ 000}{5000}=160
Таким образом, при P>500 «фанаты» (из условия) и «активные игроки» (из отрицательного спроса) не приобретают продукт; следовательно, и «новые игроки» продукт не приобретают. На данном отрезке величина спроса нулевая, выручка отсутствует.
Если цена лежит на интервале 300<P\leq 500 – все «фанаты» покупают продукт, «активные игроки» не покупают (из отрицательности спроса).
«Новые игроки» не покупают, так как не набралось достаточного числа пользователей. Максимум выручки достигается при цене 500 и она будет равна 150 млн долларов.
За верный ответ – 8 баллов.
2) Определите максимум выручки, если разработчик назначил такую цену, что продукт покупают только «фанаты» и «активные игроки» («новые игроки» не покупают). Ответ дайте в млн долларов.
Ответ: 162.
Решение:
Из решения задания 1) мы знаем, что если цена больше 300, то «активные игроки» не покупают, а при цене больше 160 не покупают «новые игроки», поэтому рассмотрим интервал цены 160<P\leq 300 – все «фанаты» покупают продукт, «активные игроки» покупают продукт в объеме Q_d=1 \ 500 \ 000-5000P ; при этом общего числа пользователей недостаточно для подключения «новых игроков». Найдём максимум выручки:
TR=P*(1 \ 500 \ 000-5000P)+300 \ 000P=>max
TR=P*(1 \ 800 \ 000-5000P)
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке
P^*=\frac{-1 \ 800 \ 000}{2*(-5000)}=180
Точка лежит на участке (160;300], следовательно, оптимум на данном участке достигается в ней и равен
TR=180*(1 \ 800 \ 000-5000*180)=180*900 \ 000=162 \ 000 \ 000
Наибольшая выручка на этом участке 162 млн долларов превышает выручку на участке (300;500] и пока является оптимумом.
За верный ответ – 8 баллов.
3) Определите, какую цену в долларах следует назначить разработчику, чтобы максимизировать выручку от продукта W.
Ответ: 180.
Решение:
Для ответа на вопрос осталось рассмотреть только участок, когда цена меньше или равна 160, так как тогда все три группы игроков будут покупать игру.
0\leq P\leq 160 – все «фанаты» покупают продукт, «активные игроки» покупают продукт в объёме Q_d^a=1 \ 500 \ 000-5000P, «новые игроки» покупают продукт в объёме Q_d^n=(n-1 \ 000 \ 000)-3000P. Выразим число n через цену (количество «фанатов» и «активных игроков»):
n=300 \ 000+1 \ 500 \ 000-5000P
Тогда уравнение выручки примет вид:
TR=300 \ 000P+P*(1 \ 500 \ 000-5000P)+P*((800 \ 000-5000P)-3000P)
TR=P*(1 \ 800 \ 000-5000P)+P*(800 \ 000-8000P)
TR=P*(2 \ 600 \ 000-13000P)
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке P^*=\frac{-2 \ 600 \ 000}{2*(-13000)}=100
Точка лежит на участке [0;160], следовательно, оптимум на данном участке достигается в ней и равен
TR=100*(2 \ 600 \ 000-1 \ 300 \ 000)=130 \ 000 \ 000
Наибольшая выручка на этом участке 130 млн долларов ниже выручки на участке (160;300], следовательно, оптимальное решение достигается при цене продукта W, равной 180 долларов.
За верный ответ – 8 баллов.