Футбольный менеджер. Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (7 класс)
Тренер ФК «Тюмень» собирает футбольную команду, чтобы выиграть чемпионат России. Он покупает игроков на три линии: нападение (F), полузащита (M), защита (D). Всего у тренера есть 1 миллиард рублей. Поскольку тренер очень умен, он смог высчитать зависимость числа забитых мячей (Z) от уровня игры нападения, полузащиты и защиты:
Z=10F+5M+2D.
Также он вычислил зависимость числа пропущенных мячей от этих показателей:
P=100-F-6M-10D.
Тренер планирует покупать игроков из других футбольных клубов России. Один форвард стоит 200 млн. рублей (он увеличивает параметр F на 1 ), один полузащитник – 150 млн. рублей (он увеличивает параметр M на 1 ), один защитник стоит 100 млн. рублей (он увеличивает параметр D на 1 ). Количество футболистов может быть только целым.
а) ( 2 балла) Определите, как тренеру распределить деньги, чтобы максимизировать разницу между числом забитых и пропущенных мячей.
Фактически функция полезности тренера U=Z-P=11F+11M+12D-100. Рассмотрим значение величины \frac{MU}{P} ( MU – величина, на которую увеличивается полезность при покупке игрока) для нападающих, полузащитников и защитников. (Данная величина показывает, какую прибавку к полезности будет приносить миллион, потраченный на игрока. Таким образом, тренер будет покупать игрока той позиции, для которой данное значение наибольшее). Для нападающего: \frac{MU_F}{P}=\frac{11}{200}=0,055. Для полузащитника: \frac{MU_M}{P}=\frac{11}{150}=0,073. Для защитника: \frac{MU_D}{P}=\frac{12}{100}=0,12. Таким образом, тренеру будет выгодно покупать защитников для максимизации своей функции полезности. За 1 млрд. рублей тренер сможет купить 10 защитников.
Ответ: F=0, \ M=0, \ D=10.
б) ( 4 балла) Размышляя над покупкой игроков согласно распределению из пункта a), тренер ФК «Тюмень» выяснил, что у него окажется меньше 11 футболистов. Поняв свою ошибку, он решил пересмотреть свои планы и обратил внимание на рынок африканских футболистов. Один африканский футболист стоит 200 \ 000\$ и усиливает свою линию на 0,1 (два африканских футболиста усилят свою линию на 0,2 и так далее...). Определите, каких футболистов теперь собирается купить тренер, если курс доллара равен 100 руб. При решении этого и следующего пунктов считайте, что в команде должно быть не менее 11 футболистов, но может быть и больше. Если в команде больше 11 игроков, то они по-прежнему улучшают показатели своих линий, так как являются запасными, которые позволяют отдыхать основным игрокам и тем самым повышают общую эффективность.
Найдем цену африканского игрока в рублях. 200 \ 000\$*100=20 млн. рублей. P=20. Так как покупка одного африканского защитника увеличивает полезность на 1.2, а покупка африканского полузащитника или нападающего увеличивает полезность на 1.1, то их цена одинакова, покупать африканских нападающих и полузащитников не имеет смысла. Теперь определим, что лучше: покупать африканского защитника или российского. Для этого найдем значение \frac{MU}{P} для африканского защитника. \frac{MU_{афр.D}}{P}=\frac{1,2}{20}=0,06. Видим, что покупать российского защитника выгоднее, чем африканского, но так как тренеру требуется набрать больше 11 игроков, ему необходимо отказаться от одного российского защитника и купить 5 африканских защитников.
в) ( 6 баллов) Мысленно собрав новую команду, тренер ФК «Тюмень» снова нашел ошибку. Теперь его команда не сбалансирована. Подумав немного, он решил, что для лучшего результата ему нужны как минимум 3 защитника, 3 полузащитника и 1 нападающий, а также 1 вратарь, которого он смог «подписать» у ФК «Оренбург» за 50 млн. рублей. Определите, сколько футболистов купит тренер на каждую линию.
Найдем величину \frac{MU}{P} для нападающих и полузащитников из Африки.
\frac{MU_{афр.F}}{P}=\frac{MU_{афр.M}}{P}=\frac{1,1}{20}=0,055. Наиболее выгодно покупать российского защитника, на втором месте по выгоде покупка российского полузащитника, на третьем месте покупка африканского защитника. Наименее выгодно покупать африканских полузащитников и нападающих, а также российского нападающего. Начнем выбирать состав команды: так как для состава необходим 1 нападающий, то выберем африканского нападающего, так как выгода от его покупки такая же, как и при покупке российского нападающего, однако при этом освобождаются деньги для покупки более выгодных игроков. Покупка защитников более выгодна, чем покупка полузащитников, поэтому полузащитников в составе будет только трое.
Рассмотрим варианты покупки полузащитников:
1) Заметим, что при покупке трех российских полузащитников, они принесут прибавку к полезности 3*11=33, при этом мы потратим 450 млн. рублей.
2) При покупке двух российских полузащитников и одного африканского полузащитника мы получим прибавку к полезности 2*11+1,1=23,1, потратив при этом 320 млн рублей. При этом, по сравнению с первым случаем мы сможем купить одного российского защитника, что увеличит нашу полезность еще на 12 единиц.
3) При покупке одного российского полузащитника и двух африканских полузащитников прибавка к полезности составит 11+1,1*2=13,2, потратив при этом 190 млн. рублей. Так, по сравнению с первым случаем, у нас освободится бюджет для покупки двух российских и трех африканских защитников, что позволит увеличить нашу полезность еще на 12*2+1,2*3=27,6.
4) При покупке трех африканских полузащитников мы получим прибавку к полезности 1,1*3=3,3, потратив при этом 60 млн. рублей. По сравнению с первым случаем мы сможем купить еще трех российских и четырех африканских защитников, что увеличит нашу полезность на 12*3+1,2*4=40,8.
Видим, что наиболее выгодно покупать трех африканских полузащитников. При этом у нас остается 1000-50 (покупка вратаря) -60 (покупка полузащитников) -20 (покупка нападающего) =870 млн. рублей. На них мы купим российских защитников, потратив 800 млн. рублей, так как это наиболее выгодные для покупки футболисты, а на оставшиеся 70 млн. купим трех африканских защитников.
Ответ: вратарь, 3 африканских защитника, 8 российских защитников, 3 африканских полузащитника и 1 африканский нападающий.